Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

114
Из соображений симметрии понято, что наибольшее отклонение
y
max
балки достигается посередине, т, е. при x = L/2, и оно равно:
444
max
111
.
22416 4 2
Lw
yy LLL
EI
⎛⎞ ⎛ ⎞
== −+
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
Иными словами,
.
384
5
4
max
EI
wL
y =
(16.6)
Текст на MAPLE
>
restart:
>
# E - модуль Юнга
>
# II - момент инерции поперечного сечения балки относительно
#горизонтальной линии проходящей через центр тяжести поперечного сечения
>
# w - вес на единицу длины
>
f:=E*II*diff(y(x),x$4)=w;
:= f = EII
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
d
d
4
x
4
()y xw
>
# Задание начальных условий
>
yx0:=y(0)=0,(D@@2)(y)(0)=0,y(L)=0,(D@@2)(y)(L)=0:
>
simplify(dsolve({f,yx0},y(x)));
= ()y x
wx()
−
+ x
3
2 Lx
2
L
3
24 EII
Пример 16.2. Пусть, например, необходимо вычислить наибольшее
отклонение стального стержня, концы которого лежат на простых опорах,
если известно, что длина стержня равна 6.1 м, а его сечение представляет
собой круг диаметром 0.03 м. В справочнике мы находим, что плотность
стали равна δ = 7.75 г/см
3
, а ее модуль Юнга равен E = 2×10
12
г/см⋅c
2
.
Линейная плотность (масса на единицу длины) стержня равна:
ρ
=
π
a
2
δ
=
π
(1.5)
2
(7.75) ≈ 54.75 г/см.
Поэтому
w =
ρ
g = (54.75 г/см)(981 см/c
2
) ≈ 53713.4 г/c
2
.
Момент инерции (момент второго порядка) диска радиусом a
вокруг диаметра равен I =
π
a
4
δ
/4, так что:
I =
π
(1.5)
4
/4 ≈ 3.97 см
4
.
Из равенства (16.6) следует, что:
y
max
≈ (5)( 53713.4)(610)
4
/[(384)( 2×10
12
)(3.97)] ≈ 12.2 см.
Это и есть максимальное отклонение стержня, причем оно
достигается, как мы уже знаем, посредине. Интересно, что y
max
пропорционально L
4
, поэтому, если бы длина стержня была наполовину
меньше, то его максимальное отклонение было бы в 16 раз меньше.
Так как I =
π
a
4
δ
/4, из равенства (16.6) следует, что такого же
уменьшения отклонения можно достичь, увеличив радиус стержня а вдвое.

Страницы