Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

112
x = L
x = 0
Концы жестко закреплены
(заделаны)
Рис. 16.3. Два способа к
р
епления
Концы подвешены или просто
опираются на опоры
x = L
x = 0
Замечание. Мы не предполагаем наличие каких-либо
предварительных знаний по теории упругости или уравнений (16.1) и
(16.2). Однако важно уметь анализировать дифференциальные уравнения,
получаемые в других прикладных областях. Ведь изучая решения
уравнения, мы учимся понимать его смысл. Заметим, что из уравнения
(16.2) следует, что четвертая производная пропорциональна плотности
веса, т.е. удельной плотности
. Коэффициент пропорциональности
содержит две постоянные –модуль Юнга Е, который зависит только от
материала балки, и момент инерции I, который зависит только от формы
поперечного сечения балки. Значение модуля Юнга для разных материалов
можно найти в справочниках физических величин. I =
π
a
4
/4 для круглого
поперечного сечения радиусом а.
Несмотря на то, что уравнение (16.2) является дифференциальным
уравнением четвертого порядка, решение его сводится к решению
уравнений первого порядка, которые решаются интегрированием.
Проинтегрировав уравнение (16.2) первый раз, получим, что:
EIy
(3)
= wx + С
1
.
После второго интегрирования получим:
EIy
″
= wx
2
/2 + С
1
x + С
2
.
Еще одно интегрирование даст:
EIy
′
= wx
3
/6 + С
1
x
2
/2 + С
2
x + С
3
.
И наконец, последнее интегрирование дает:
EIy = wx
4
/24 + С
1
x
3
/6 + С
2
x
2
/2 + С
3
x + С
4
,
где С
1
, С
2
, С
3
и С
4
и – некоторые произвольные постоянные. Таким
образом получим решение уравнения (16.2) в виде:
()
432
,
24
w
yx x Ax Bx Cx D
EI
=++++
(16.3)
где A, В, С и D – константы, полученные после четырех интегрирований.
Эти четыре постоянные определяются способом крепления балки
на концах, т.е. при x = 0 и x = L. На рис. 16.3 изображены два способа
крепления, причем каждый конец можно закрепить своим способом.
Например, на рис. 16.4 изображена консоль – балка прочно закреплена в
точке
x = 0, но не закреплена (вообще нет никакой опоры) на конце x = L. В
таблице 16.1 показаны граничные, или краевые, условия для трех самых
распространенных случаев. Именно эти краевые условия часто
используются при решении задач, связанных с креплением балок.
Рис. 16.4. Консоль – балка, один
конец которой заделан, а второй не
за
креплен вообще
Консоль

Страницы