Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

122
Пример 17.4. Пусть V
1
=20, V
2
=40, V
3
=50, r =10 (литров в минуту),
а начальное количество соли в трех рассольных баках равны (в кг):
x
1
(0) = 15, x
2
(0) = x
3
(0) = 0.
Найдем количество соли в каждом резервуаре в момент времени t ≥ 0.
Решение. Применим метод собственных значений [11].
Подставляя данные числовые значения в равенства (17.5) и (17.6), мы
получаем задачу Коши (задачу с начальными условиями). Для ее решения
применим метод собственных значений:
() ( )
0.5 0 0 15
0.5 0.25 0 , 0 0
0 0.25 0.2 0
xt x x
−
⎡
⎤⎡⎤
⎢
⎥⎢⎥
′
=− =
⎢
⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
−
⎣
⎦⎣⎦
(17.7)
для вектора
х(t) = [x
1
(t), x
2
(t), x
3
(t)]
T
.Простая форма матрицы
0.5 0 0
I 0.5 0.25 0
0 0.25 0.2
A
λ
λλ
λ
−−
⎡⎤
⎢⎥
−= − −
⎢⎥
⎢⎥
−
−
⎣⎦
(17.8)
сразу приводит к характеристическому уравнению:
|
A – λI | = (–0.5 – λ)( –0.25 – λ)( –0.2 – λ) = 0.
Таким образом, матрица коэффициентов в уравнении (17.7) имеет
различные собственные значения λ
1
= –0.5, λ
2
= –0.25, λ
3
= –0.2.
Случай 1. λ
1
= –0.5. Подставляя λ = –0.5. в равенство (17.8),
получаем уравнение:
|
A +(0.5)I|v =
0
3.025.00
025.05.0
000
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
c
b
a
Для соответствующего собственного вектора
v = [a, b, c]
T
.
Последние две строки, после деления на 0.25 и 0.05 соответственно,
приводят к скалярным уравнениям:
2a + b = 0
5b + 6c = 0.
Второе уравнение удовлетворяется при b = –6 и с = 5, а тогда
первое уравнение дает а = 3. Таким образом, собственный вектор:
v
1
= [3, –6, 5]
T
соответствует собственному значению λ
1
= –0.5.
Случай 2. λ
2
=–0.25. Подставляя λ= –0.25. в равенство (17.8),
получаем уравнение:
|
A +(0.25)I|v =
0
05.025.00
005.0
0025.0
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
c
b
a
для соответствующего собственного вектора
v = [a,b,c]
T
. Каждая из первых
двух строк дает а = 0, а деление третьей строки на 0,05 дает уравнение:
5b + c = 0.

Страницы