Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

123
которое удовлетворяется при b = 1, с = –5. Таким образом, собственному
значению λ
2
= –0.25 соответствует собственный вектор:
v
2
= [0, 1, –5]
T
Случай 3. λ
3
= –0.2. Подставляя λ = –0.2. в равенство (17.8),
получаем уравнение:
|
A +(0.2)I|v =
0
025.00
005.05.0
003.0
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
c
b
a
для соответствующего собственного вектора
v = [a, b, c]
T
. Первая и третья
строки показывают, что а = 0 и b = 0 соответственно, но нулевой третий
столбец позволяет в качестве с выбрать произвольное число (но отличное
от нуля). Таким образом, собственный вектор
v
2
= [0, 0, 1]
T
соответствует собственному значению λ
3
= –0.2.
Следовательно, общее решение:
()
t
tt
evcevcevctx
3
21
332211
λ
λλ
++=
Имеет вид:
()
() ( ) ()
ttt
ececectx
2.0
3
25.0
2
5.0
1
1
0
0
5
1
0
5
6
3
−−−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
Полученные скалярные уравнения имеют вид:
x
1
(t) = 3c
1
e
–0.5t
x
2
(t) = –6c
1
e
–0.5t
+ c
2
e
–0.25t
x
3
(t) = 5c
1
e
–0.5t
– 5c
2
e
–0.25t
+ c
3
e
–0.2t
.
Применив начальные условия x
1
(0) = 15, x
2
(0) = x
3
(0) = 0, получим:
3c
1
= 15
–6c
1
+ c
2
= 0
5c
1
– 5c
2
+ c
3
= 0
решения которых (в свою очередь) легко находятся: c
1
=5, c
2
=30 и c
3
= 125.
Таким образом, наконец, количества соли в момент времени t в трех
рассольных баках даются функциями:
x
1
(t) = 15e
–0.5t
x
2
(t) = –30e
–0.5t
+ 30e
–0.25t
x
3
(t) = 25e
–0.5t
– 150e
–0.25t
+ 125e
–0.2t
.
Можно воспользоваться системой MATLAB или MAPLE.
Текст на Maple
>
restart:
>
V1:= 20: V2:= 40: V3:=50:
>
r1:= 10: r2:= 10: r3:=10:
>
k1:=r1/V1: k2:=r2/V2: k3:=r3/V3:
>
my_diff_yravnenie:={diff(x1(t),t)=-k1*x1(t),diff(x2(t),t)=k1*x1(t)-
k2*x2(t),diff(x3(t),t)=k2*x2(t)-k3*x3(t),x1(0)=15,x2(0)=0,x3(0)=0};

Страницы