Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

22
2.5 Учет сопротивления
Ньютон в своих знаменитых Началах (Principia Mathematica)
показал, что из простых физических предположений следует, что
F
R
пропорциональна квадрату скорости:
F
R
= kv
2
. Но эмпирические
исследования показывают, что фактическая зависимость сопротивления
воздуха от скорости может быть весьма сложной. Для многих целей
достаточно предположить, что
F
R
= kv
p
, где 1 ≤ р ≤ 2 и значение k зависит
от размера и формы тела, а также от плотности и вязкости воздуха. Вообще
говоря,
р=1 для относительно малых скоростей и р=2 для больших
опростей, ну а для промежуточных скоростей 1 <
р < 2. Но конкретные
значения "низких скоростей" и "высоких скоростей" зависят от тех же
самых коэффициентов, которые определяют значение коэффициента
k.
Таким образом, сопротивление воздуха – сложное физическое
явление. Но для упрощения предположим, что
F
R
точно выражается
приведенной выше формулой, причем
р=1 или р=2. В конце концов, это
приводит к хорошей математической модели, которая предсказывает
самые важные качественные особенности движения тела в среде с
сопротивлением.
2.5.1 Сопротивление, пропорциональное скорости
Сначала рассмотрим вертикальное движение тела массой
m около
поверхности земли. На тело действуют две силы – направленная вниз сила
тяготения
F
G
и сила F
R
сопротивления воздуха, которая пропорциональна
скорости (так что
р = 1). Сила сопротивления воздуха, конечно же,
направлена против направления движения тела. Если в системе координат
положительное направление
у направлено вверх, причем у= 0 на уровне
земли, то:
F
G
= –mg и F
R
= –kv (2.11)
где
k – положительная константа и v = dy/dt – скорость тела. Обратите
внимание, что знак "минус" в (2.11) делает
F
R
положительным (сила
направлена вверх), если тело падает (
v отрицательно) и делает F
R
отрицательным (сила направлена вниз) если тело набирает высоту (
v
положительна). Равнодействующая сил, действующих на тело, равна:
F = F
R
+ F
G
= F
G
= –kv –mg,
Тогда закон Ньютона движения
F = m(dv/dt) приводит к уравнению
mgkv
dt
dv
m −−=
.
Таким образом,
gv
dt
dv
−−=
ρ
, (2.12)

Страницы