Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

23
где
ρ
= k/m > 0. Непосредственной проверкой можно убедиться, что если
бы положительное направление оси
у было направлено вниз, то уравнение
(2.12) имело бы вид
dv/dt = –
ρ
v + g.
Уравнение (2.12) – дифференциальное уравнение первого порядка с
разделяющимися переменными, и его решением является функция:
()
ρρ
ρ
g
e
g
vtv
t
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
−
0
. (2.13)
Здесь
v
0
= v(0) – начальная скорость тела. Обратите внимание, что:
()
ρ
g
tvv
t
T
−==
∞→
lim
.
Таким образом, скорость тела, падающего при сопротивлении
воздуха, не увеличивается неограниченно – она приближается к конечной
граничной скорости, или предельной скорости:
k
mgg
v
T
==
ρ
. (2.14)
Этот объясняет, почему парашютист не разбивается при прыжке.
Это также помогает объяснить случайное выживание людей, которые
выпадают без парашютов из высоко летящих самолетов.
Перепишем уравнение (2.13) в виде:
() ()
0
t
TT
dy
vt v v e v
dt
ρ
−
=
=− +
. (2.15)
Интегрирование дает:
y(t) = –(1/
ρ
)(v
0
– v
T
)e
–
ρ
t
+ v
T
⋅
t + C.
Подставив 0 вместо
t и обозначив через y
0
= y(0) начальную высоту
тела, находим, что
С = y
0
+ (v
0
– v
T
)/
ρ
, и потому:
y(t) = y
0
+ v
T
⋅
t + (1/
ρ
)(v
0
– v
T
)(1 – e
–
ρ
t
). (2.16)
Равенства (2.15) и (2.16) дают скорость
v и высоту у тела,
двигающегося вертикально под действием сил тяжести и сопротивления
воздуха. Формулы зависят от начальной высоты
y
0
тела, его начальной
скорости
v
0
и коэффициента лобового сопротивления
ρ
. (Коэффициент
лобового сопротивления – это константа, такая, что ускорение из-за
сопротивления воздуха равно
a
R
= –
ρ
v.) Эти два уравнения также содержат
предельную скорость
v
T
, определенную в (2.14).
Для человека, спускающегося на парашюте, обычно значение
ρ
равно 1.5, что соответствует предельной скорости |
v
T
| ≈ 6.5 метра в
секунду. Для парашютиста-неудачника, выпрыгнувшем вместо парашюта
в расстегнутом пальто, трепещущем на ветру при падении,
ρ
может
измениться, возможно, даже до 0.5, что дает предельную скорость |
v
T
| ≈ 20
метров в секунду.
Пример 2.4. Снова полагаем, что стрела выпущена из арбалета
прямо вверх с начальной скоростью
v
0
= 49 м/с с поверхности земли. Но

Страницы