Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

25
Видим, что пересечение графика y(t) с осью Ot находится в районе t
= 9.4. Для численного решения добавим следующие строки:
f = @(t)a-b*t-a*exp(-t/c);
z = fzero(f,9)
Получим z = 9.4109.
Мы рассчитали, что стрела находится в воздухе
t
f
≈ 9.41 секунды (а
не 10 секунд, как было бы при отсутствии сопротивления воздуха). Она
упадет на землю с меньшей скоростью |
v(t
f
)| ≈ 43,227 м/с (а не с начальной
скоростью 49 м/с).
Таким образом, эффект сопротивления воздуха уменьшает
максимальную высоту стрелы, полное время полета и ее скорость при
падении. Также обратите внимание, что стрела при наличии
сопротивления воздуха падает дольше, чем поднимается.
2.5.2 Сопротивление, пропорциональное квадрату скорости
Предполагаем, что сила сопротивления воздуха пропорциональна
квадрату
скорости:
F
R
= ±kv
2
(2.17)
причем
k > 0. Выбор знаков здесь зависит от направления движения,
против которого направлена сила сопротивления. Если положительное
направление оси
у направлено ваш то F
R
< 0 для движения вверх (когда v >
0) и
F
R
> 0 для движения вниз (когда v < 0). Таким образом, знак F
R
всегда
противоположен знаку
v, так что мы можем переписать уравнение (2.17) в
виде:
F
R
= –kv|v|
Тогда второй закон Ньютона дает:
vkvmgFF
dt
dv
m
RG
−−=+=
,
т.е.
vvg
dt
dv
ρ
−−=
, (2.18)
где
ρ
= k/m > 0. Рассмотрим случаи движения вверх и вниз отдельно.
Движение вверх. Предположим, что снаряд запущен прямо вверх
из начального положения
y
0
с начальной скоростью v
0
> 0. Тогда уравнение
(2.18) для
v > 0 дает дифференциальное уравнение:
22
1
dv
gv g v
dt g
ρ
ρ
⎛⎞
=− − =− +
⎜⎟
⎝⎠
Движение вниз. Предположим, что снаряд запущен (или сброшен)
прямо вниз из начального положения
y
0
с начальной скоростью v
0
≤ 0.
Тогда уравнение (2.18) для
v<0 дает дифференциальное уравнение:
22
1
dv
g
vg v
dt g
ρ
ρ
⎛⎞
=− + =− −
⎜⎟
⎝⎠
.

Страницы