Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

26
2.6 Задачи
1. Ускорение спортивного автомобиля Maserati пропорционально
разности между 250 км/час и его скоростью. Эта машина может ускориться
из состояния покоя до 100 км/час за 10 секунд. Сколько времени
потребуется для этого автомобиля, чтобы ускориться из состояния покоя
до 200 км/час?
2. Предположим, что тело движется в среде, причем сопротивление
среды пропорционально скорости
v тела, так что dv/dt = –kv.
а) Покажите, что скорость и положение тела в момент времени
t даются
формулами: v(t) = v
0
e
–kt
и x(t) = x
0
+ v
0
(1 – e
–kt
)/k.
b) Убедитесь, что тело переместится только на конечное расстояние, и
найдите это расстояние.
3. Предположим, что моторная лодка движется со скоростью 1.5 м/с,
когда ее двигатель внезапно выходит из строя, и что через 10 с после этого
лодка замедлилась до 0.5 м/с. Примите, как и в задаче 2, что
сопротивление, с которым сталкивается
лодка во время каботажного
плавания, пропорционально скорости лодка. Как далеко может проплыть
лодка?
4. Рассмотрим тело, которое перемещается горизонтально в среде,
сопротивление которой пропорционально квадрату скорости
v, так что
dv/dt = –kv
2
. Покажите, что
v(t) = v
0
/(1+ v
0
kt) и что x(t) = x
0
+ ln(1+ v
0
kt)/k.
Обратите внимание что, в отличие от результата задачи 2,
x(t) → ∞
при
t→ ∞.
5. Предполагая сопротивление среды пропорциональным квадрату
скорости (как в задаче 4), определите, сколько проплывет моторная лодка
из задачи 3 вдоль побережья за первую минуту после выхода ее мотора из
строя?
6. Предположим, что тело, двигающееся со скоростью
v, испытывает
сопротивление среды, определяемое формулой
dv/dt= –kv
3/2
. Покажите, что
()
()
2
0
0
2
4
+
=
vkt
v
tv
и что
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−+=
2
2
1
2
0
00
vkt
v
k
xtx
.
Покажите, что если сопротивление пропорционально скорости тела
в степени 3/2, то тело пройдет только конечное расстояние до остановки.
7. Предположим, что автомобиль начинает двигаться из состояния
покоя и его двигатель обеспечивает ускорение 3 м/с
2
, а сопротивление

Страницы