Составители:
28
3 Переменное гравитационное ускорение
Если снаряд при вертикальном движении не остается в
непосредственной близости от поверхности земли, гравитационное
ускорение, действующее на него, не постоянно. Согласно закону
всемирного тяготения Ньютона, сила притяжения между двумя точечными
массам
M и m, равна:
2
GMm
F
r
=
, (3.1)
где
G – гравитационная постоянная. Численно она равна модулю силы
тяготения, действующей на точечное тело единичной массы со стороны
другого такого же тела, находящегося от него на единичном расстоянии. В
единицах СИ рекомендованное на 2006 год значение
G
=(6.67428
±0.00067)×10
–11
м³·с-²·кг-1, или Н·м²·кг-².
Формула также имеет силу, если одна или обе из этих двух масс
представляют собой однородные сферы. В этом случае
r равно
расстоянию между центрами сфер.
Пример 3.1. Лунный посадочный модуль свободно падает на Луну,
причем на высоте 53 км над поверхностью Луны его скорость,
направленная к Луне, равна 1477 км/час. Его тормозные реактивные
двигатели, запущенные в безвоздушном пространстве, обеспечивают
замедление
Т = 4 м/с
2
. На какой высоте над поверхностью Луны должны
быть активизированы тормозные реактивные двигатели, чтобы
гарантировать "мягкое приземление" (
v = 0 при соударении)?
Решение. Пусть
r(t) обозначает расстояние посадочного модуля от
центра Луны в момент времени
t (рис. 3.1). Складывая (постоянное)
ускорение тяги
Т и (отрицательное) лунное ускорение F/m = GM/r
2
из
уравнения (3.1), получаем дифференциальное уравнение, левая часть
которого есть ускорение:
2
22
dr GM
T
dt r
=−
(3.2)
где
М = 7.35×10
22
(кг) – масса Луны, которая имеет радиус R = 1.74×10
6
м
(или 1740 км, немного больше четверти радиуса Земли). Замечая, что это
дифференциальное уравнение второго порядка не содержит независимую
переменную
t, мы заменяем:
2
2
,
dr d r dv dv dr dv
vv
dt dt dt dr dt dr
===⋅=
и получаем уравнение первого порядка:
2
dv GM
vT
dr r
=−
с новой независимой переменной
r. Интегрирование по r теперь приводит
к уравнению
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- …
- следующая ›
- последняя »
