Составители:
30
4 Вторая космическая скорость
Жюль Берн в своем романе “С Земли на Луну”, написанном в 1865
году, поднял вопрос о том, какую начальную скорость должен иметь
снаряд, запущенный с поверхности Земли, для того чтобы достичь Луны.
Точно так же мы можем спросить, какой должна быть начальная скорость
v
0
для того, чтобы снаряд не упал на Землю и не стал спутником Земли.
Это будет так, если его скорость
v=dr/dt остается положительной для всех t
> 0, так что снаряд всегда движется от Земли. Обозначим через
r(t)
расстояние снаряда от центра Земли в момент времени
t (рис. 4.1).
Тогда мы имеем уравнение:
22
2
r
GM
d
t
rd
d
t
dv
−==
(4.1)
подобное уравнению (3.2), но в нем
Т = 0 (отсутствует тяга) и M =
5.975
×10
24
(кг) обозначает массу Земли, которая имеет экваториальный
радиус
R = 6.378×10
6
(м). Подстановка выражения dv/dt = v(dv/dr) дает:
2
r
GM
dr
dv
v −=
.
Тогда интегрирование обеих частей по
r приводит к равенству:
C
r
GM
v +=
2
2
1
.
Теперь
v = v
0
и r = R, когда t = 0, так что C = (1/2)⋅v
2
– GM/R, и,
следовательно, решение уравнения относительно
v
2
дает:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+=
Rr
GMvv
11
2
2
0
2
.
Это неявное решение уравнения (4.1) определяет скорость снаряда
v
как функцию его расстояния
r от центра Земли. В частности:
R
GM
vv
2
2
0
2
−>
Скорость v(t)
r
m
r(t)
M
R
Рис. 4.1. Движение снаряда.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- …
- следующая ›
- последняя »
