Составители:
62
8 Закон Торричелли
Предположим, что водный резервуар имеет отверстие в основании,
через которое вытекает вода. Пусть площадь отверстия равна а. Обозначим
через y(t) глубину воды в резервуаре в момент времени t, а через V(t) –
объем воды в резервуаре. При некоторых идеальных условиях скорость
воды, вытекающей через отверстие, равна:
2vgy=
(8.1)
т.е. равна скорости, которую вытекающая вода приобрела бы при
свободном падении с поверхности воды до отверстия. Эту формулу можно
получить, если сделать предположение, что сумма кинетической и
потенциальной энергии системы остается постоянной. При реальных
условиях, принимая во внимание сжатие воды в струе, вытекающей из
отверстия:
2vc gy=
где с – эмпирическая константа между 0 и 1 (обычно она равна
приблизительно 0.6 для маленького непрерывного потока воды). Для
простоты мы принимаем с = 1 в дальнейшем обсуждении.
Вследствие уравнения (8.1) мы имеем:
2
dV
av a gy
dt
=− =−
Или, эквивалентно
dV
ky
dt
=−
,
где
2ka g=
.
Это закон Торричелли для жидкости, вытекающей из резервуара.
Если А(у) обозначает горизонтальную площадь поперечного сечения
резервуара на высоте у выше отверстия, метод вычисления объема через
площади сечений дает:
()
0
y
VAydy=
∫
так что фундаментальная теорема анализа приводит к выводу, что dV/dy =
А(у), и поэтому:
()
dV dV dy dy
Ay
dt dy dt dt
=⋅=
(8.2)
Из уравнений (8.1) и (8.2) получаем:
()
2
dy
A
yagyky
dt
=− =−
. (8.3)
Это альтернативная форма закона Торричелли.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- …
- следующая ›
- последняя »
