Составители:
63
Пример 8.1. Полусферическая чаша высотой (радиусом) 4 м
наполнена водой. В момент в времени t=0 в основании резервуара откры-
вается круговое отверстие диаметром 0.1 м. Через сколько времени из
резервуара вытечет вся вода?
Решение. Из прямоугольного треугольника на рис. 8.1 находим:
А(у) = πr
2
= π [16 - (4 - у)
2
] = π(8у - у
2
).
Отсюда уравнение (8.3) принимает вид:
()
2
8
dy
yky
dt
π
−=−
⇒
13
22
8
k
y y dy dt
π
⎛⎞
−=−
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
⇒
35
22
16 2
35
k
yy tC
π
−=−+
.
Резервуар будет пуст, когда у = 0, т. е. когда:
t
f
=
π
C/k.
Теперь подставим начальное условие у(0) = 4. Получаем:
35
22
16 2 448
4 4 29.8666
35 15
C =⋅−⋅= ≈
.
Тогда получим:
t
f
≈ 3.14⋅29.8666/[0.1⋅ (2⋅9.81)
1/2
] ≈ 2118.298.
Иными словами, приблизительно через 35 минут 20 секунд. Так что
потребуется немного меньше 36 минут, чтобы из резервуара вытекла вся
вода.
П
оложительное
направление оси
Рис. 8.1. Вытекание жидкости из
пол
у
с
ф
е
р
ического
р
езе
р
в
у
а
р
а
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- …
- следующая ›
- последняя »
