Составители:
66
решение Королевскому Обществу в Лондоне: кривая минимального
времени спуска – это перевернутая дуга циклоиды. Чтобы получить
современный вывод этого результата, предположите, что бусинка начинает
соскальзывать с состояния покоя в начале координат Р и пусть у = у(х) –
уравнение искомой кривой в системе координат, ось у которой направлена
вниз. Тогда механический аналог закона
Снеллиуса, часто применяемого в
оптике, даст, что:
(sin α)/v = const (i)
где α обозначает угол отклонения (от вертикальной линии) касательной к
направляющей кривой, так что ctg α = у'(х) (почему?) и v = (2gy)
1/2
–
скорость бусинки, когда она спустилась на расстояние у по вертикали
(поскольку Кинетическая энергия = (1/2)mv
2
= mgy = Потенциальной
энергии).
Сначала из уравнения (i) выведите дифференциальное уравнение:
2dy a y
dx y
−
=
(ii)
где a – подходящая положительная константа.
(b) Подставьте у = 2а sin
2
t, dy = 4а sint cost dt в (ii), чтобы получить
решение:
x = a(2t — sin2t), у = a(l — cos2t), (iii)
для которого t = у = 0, когда х = 0. Наконец, подстановка
Θ
= 2а в (iii) дает
стандартное параметрическое уравнение х = а(
Θ
— sin
Θ
), у = a(l — cos
Θ
)
циклоиды, которая является траекторией точки на ободе кругового колеса
радиуса а, когда оно катится по оси x.
р
Рис. 8.3. Бусинка, соскальзывающая с провода — задача о брахистохроне
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- …
- следующая ›
- последняя »
