Составители:
68
0
ii
r
dx
rc x
dt V
=−
. (9.1)
Если V
0
= V(0), то V(t) = V
0
+ (r
i
– r
0
)t, так что уравнение (9.1) –
линейное дифференциальное уравнение первого порядка для количества
х(t) растворенного вещества в резервуаре времени t.
Важно. Уравнение (9.1) не нужно запоминать. Нужно стремиться
понять именно метод вывода этого уравнения поведения системы в
короткий временной интервал [t, t+Δt], потому что именно этот метод
позволяет вывести дифференциальные уравнения всех видов.
Пример 9.1. Предположим, что озеро Эри имеет объем 480 км
3
и
что скорость притока в него (из озера Гурон) и оттока из него (в озеро
Онтарио) равна 350 км
3
в год. Предположим, что в момент времени t = 0
(годы), концентрация загрязнителя в озере Эри вызвана прошлым
промышленным загрязнением, которому теперь приказали прекратиться (а
оно взяло да и послушалось!), в пять раз больше, чем концентрация
загрязнителя в озере Гурон. Предположим, что при оттоке вода в озере
тщательно перемешивается. Сколько потребуется времени
, чтобы
концентрация загрязнителя в озере Эри вдвое превышала концентрацию
загрязнителя в озере Гурон?
Решение. Здесь мы имеем:
V = 480 (км
3
), r
i
= r
0
= r = 350 (км
3
/год), c
i
= c(концентрация
загрязнителя в озере) и х
0
= х(0) = 5сV, а вопрос формулируется так: когда
x(t)=2cV? В этих обозначениях уравнение (9.1) представляет собой
уравнение с разделяющимися переменными:
dx r
rc x
dt V
=−
,
которое перепишем в виде линейного уравнения первого порядка:
dx
px q
dt
+
=
Выливается:
r
0
c
0
Δt
Концентрация c
0
=x/V
Объем V(t)
Количество x(t)
Вливается: r
i
c
i
Δ
t
Рис. 9.1. Задача на смесь в единственном резервуаре.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- …
- следующая ›
- последняя »
