Составители:
69
с постоянными коэффициентами p=r/V, q = rc. Его интегрирующий
множитель равен ρ=e
pt
. Мы можем решить это уравнение сами или через
систему компьютерной алгебры MATLAB.
clc
clear
x=dsolve('Dx=r*(c-x/V)','t')
Полученное решение:
x(t) =V*c – C
1
/exp((r*t)/V).
Учтем начальное условие: х(0) = 5сV = V*c – C
1
⇒ C
1
= –4сV.
Поэтому, чтобы найти, когда x(t) = 2cV, мы должны только решить
уравнение:
V*c + 4сV/exp(rt/V) = 2Vc ⇒ 1+4/exp(rt/V) = 2 ⇒ 4/exp(rt/V) = 1 ⇒ 4 =
exp(rt/V)
⇒ ln 4 = rt/V ⇒ t = (V/r) ln 4 = (480/350) ln 4 ≈ 1.901 (года).
Пример 9.2. 450-литровый резервуар первоначально содержит 40 кг
растворенной в 340 литрах воды. Морская вода, содержащая 480 грамм
соли в литре, вливается в резервуар со скоростью 15 литров в минуту.
Тщательно перемешанная смесь вытекает из резервуара со скоростью 11
литров в минуту. Сколько соли содержит заполненный резервуар?
Решение. Интересная особенность этого примера – из-за различия в
скорости притока и оттока объем морской воды в резервуаре
увеличивается равномерно, причем V(t) = 340+t литров. Изменение Δх
количества соли х в резервуаре с момента времени t к моменту времени t +
Δt (минут) дается формулой:
Δх ≈ (15)(0.48) Δt –11x/(340+t)
⋅Δt,
так что наше дифференциальное уравнение имеет вид:
11
7.2
340
dx
x
dt t
+=
+
.
Интегрирующий множитель равен:
()
()
()
11
11
11ln 340
340
340
dt
t
t
x
ee t
ρ
+
+
∫
== =+
.
что дает:
D
t
[(340+t)
11
x] = 7.2(340+t)
11
⇒ (340+t)
11
x = (7.2/12)(340+t)
12
+C=
0.6(340+t)
12
+ C.
Учтем начальное условие: х(0) = 40. Тогда C = –164⋅(340)
11
. Так что
количество соли в резервуаре в момент времени t равно:
x(t) = 0.6(340+t) – 164⋅(340)
11
/(340+t)
11
.
Резервуар заполнится через 27.5 минут, а когда t = 27.5, мы имеем:
x(27.5) = 0.6(340+27.5) – 164⋅(340)
11
/(340+27.5)
11
≈ 150 (кг)
соли в резервуаре.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- …
- следующая ›
- последняя »
