Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

67
9 Задачи на смеси
Как приложение линейных дифференциальных уравнений первого
порядка, рассмотрим резервуар, содержащий раствор–смесь растворенного
вещества и растворителя, – например раствор соли в воде. Есть приток и
отток растворенного вещества, и мы хотим вычислить количество x(t)
растворенного вещества в резервуаре в момент времени t, зная количество
x(0) = x
0
в момент времени t = 0. Предположим, что раствор с кон-
центрацией c
i
граммов растворенного вещества в литре раствора вливается
в резервуар с постоянной скоростью r
i
литров в секунду и что раствор в
резервуаре сразу же тщательно перемешивается, причем отток имеет
постоянную скорость r
0
литров в секунду.
Чтобы написать дифференциальное уравнение для x(t), мы
вычислим изменение Δx количества х в течение краткого временного
интервала [t, t+Δt]. Количество раствора, который вливается в резервуар в
течение Δt секунд равно r
i
c
i
Δt граммов. Чтобы проверить это, обратите
внимание на размерность полученного нами результата: выражение
()
ii
литр грамм
rctсекунда
секунда литр
⎛⎞⎛⎞
Δ
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
дает количество, выраженное в граммах.
Количество раствора, который вытекает из резервуара в течение
этого же самого временного интервала, зависит от концентрации с
0
(t)
растворенного вещества в растворе в момент времени t. Но, как показано
на рис. 9.1, с
0
(t) = x(t)/V(t), где V(t) обозначает объем (является константой
только если r
i
= r
0
) раствора в резервуаре в момент времен t. Тогда
Δx = {грамм вливаемого растворенного вещества} –
– {грамм выливаемого растворенного вещества} ≈ r
i
c
i
Δt – r
0
c
0
Δt.
Теперь делим на Δt:
00ii
x
rc r c
t
Δ
≈−
Δ
.
Наконец, берем предел при Δt → 0. Если все имеющиеся здесь
функции непрерывны и x(t) дифференцируема, то ошибка в этой
аппроксимации также приближается к нулю, и мы получаем
дифференциальное уравнение:
00ii
dx
rc r c
dt
=−
в котором r
i
, c
i
и r
0
являются константами, а c
0
обозначает переменную
концентрацию
с
0
(t)=x(t)/V(t)
растворенного вещества в резервуаре в момент времени t. Таким образом,
количество растворенного вещества в резервуаре x(t) удовлетворяет
дифференциальному уравнению:

Страницы