Составители:
71
10 Механические колебания
Линейные дифференциальные уравнения часто представляют собой
математические модели механических систем и электрических цепей [6].
Предположим, что к телу (материальной точке) массой m с одной стороны
присоединена пружина, действующая на него с силой F
S
, а с другой –
амортизатор, действующий с силой F
R
(рис. 10.1). Будем также считать,
что сила упругости F
S
пружины пропорциональна смещению х тела
относительно положения равновесия (положительного при смещении
вправо и отрицательного при смещении влево), а сила действия
амортизатора F
R
пропорциональна скорости тела v = dx/dt. На рис. 10.2
показано направление действия этих сил:
F
S
= –kx (10.1)
и
F
R
= –cv (k, c > 0).
Заметим, что знаки "минус" поставлены верно – F
S
отрицательна
при положительных x, и F
R
отрицательна при положительных v. Из второго
закона Ньютона F = ma следует:
mx″ = F
S
+ F
R
.
Иными словами,
2
2
0.
dx dx
mckx
dt dt
+
+=
(10.2)
Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение,
которому удовлетворяет значение координаты x(t) тела массой m. Это
однородное линейное уравнение второго порядка описывает свободные
колебания материальной точки.
Если, к тому же, кроме F
S
и F
R
на точечную массу m действует
внешняя сила F(t), ее необходимо добавить к правой части уравнения
(10.2) и в результате мы получим
уравнение:
()
2
2
.
dx dx
mckxFt
dt dt
++=
(10.3)
x, v > 0
m
F
R
F
S
Рис. 10.2. Направления
сил, действующих на
материальную точку
массой m.
Рис. 10.1. Система, состоящая
из тела заданной массы, за-
крепленного на пружине с
амортизатором
x = 0
x(t)
m
Пружина Амортизатор
Положение
равновесия
x > 0
Масса
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- …
- следующая ›
- последняя »
