Составители:
73
11 Математический маятник
Дифференциальное уравнение (10.3) очень важно потому, что оно
описывает движение также и многих других простых механических
систем. Рассмотрим, например, математический маятник. Он состоит из
материальной точки массой m, подвешенной на невесомой нити (или на
невесомом стержне) длиной L, причем эта материальная точка качается из
стороны в сторону, как показано на рис. 11.1. Положение
тела в момент
времени t можно задать с помощью угла отклонения нити (или стержня) от
вертикальной оси
Θ
–
Θ
(t) (положительного при отклонении против
часовой стрелки). Чтобы получить дифференциальное уравнение
колебаний материальной точки массой m, запишем закон сохранения
механической энергии, согласно которому сумма кинетической и
потенциальной энергии тела постоянна.
Расстояние от положения равновесия 0 до материальной точки
массой m вдоль дуги s = L
Θ
. Следовательно, скорость движения
материальной точки равна v = ds/dt = L(d
Θ
/dt), откуда кинетическая
энергия
22
22
11 1
22 2
ds d
Tmv m mL
dt dt
Θ
⎛⎞ ⎛ ⎞
== =
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
Выберем в качестве начала отсчета самую низкую точку О, через
которую проходит при движении материальная точка (рис. 11.1). Тогда
потенциальная энергия V равна произведению mg на высоту h = L(l – cos
Θ
)
тела над точкой О, т. е.
V = mgL(l – cos
Θ
).
Поскольку сумма T и V равна некоторой постоянной С, получим:
()
2
2
1
1cos
2
d
mL mgL C
dt
Θ
⎛⎞
+
−Θ=
⎜⎟
⎝⎠
.
Продифференцировав обе части этого равенства по t, получим:
()
2
2
2
sin 0
dd d
mL mgL
dt dt dt
⎛⎞
ΘΘ Θ
⎛⎞
+
Θ=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
.
0
m
h
L
Θ
Рис. 11.1. Математический маятник
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- …
- следующая ›
- последняя »
