Составители:
Рубрика:
39
У единичного вектора е
i
, i-я компонента равна единице, а остальные — нули.
Единичный вектор е
i
одновременно является i-й строкой и i-м столбцом единичной
матрицы (2.1.3).
Эти векторы обобщают понятие единичных векторов в трехмерном пространстве,
направленных по координатным осям.
Сравниваются векторы так же, как и матрицы, поскольку они являются частным
случаем матриц. Два вектора A = [a
1
, a
2
, ..., a
m
] и B = [b
1
, b
2
, …, b
m
] считаются равными,
если равны их соответствующие координаты, т. е. если А=В, то a
1
=b
1
; а
2
=b
2
;...; a
m
=b
m
и
наоборот.
Матрицу A размером mxn (2.1.1) можно разложить на п m-мерных векторов-
столбцов
A
j
=[a
1j
, a
2j
,…, a
mj
] (2.1.11)
j=1, 2, . . . , п.
Поэтому матрицу можно записать так:
A=[A
1
, А
2
,…, A
n
] (2.1.12)
В дальнейшем всегда буква А с индексом j будет обозначать j-и столбец матрицы.
Говорят, что вектор задан, если известны числовые значения его компонент.
Поскольку вектор есть частный случай матрицы, то операции над матрицами,
рассмотренные в этой главе, целиком распространяются на векторы.
При транспонировании вектор-столбец переходит в вектор-строку и наоборот.
Умножение вектора Х на действительное число
λ
сводится к умножению на это
число всех компонент вектора. При
λ
>1 вектор «удлиняется», а при |
λ
|<1 —
«укорачивается». При положительном числе
λ
направление вектора не меняется, а при
λ
<0 вектор меняет свое направление на противоположное.
Пример 1. Если X = [8, -2, 2, 3] и
λ
=3, то 3Х=Х3 = [24, -6, 6, 9].
Вектор, являющийся произведением некоторого вектора Х на действительное
число
λ
, никогда не выходит из того пространства, которому принадлежит вектор X, т. е.
если Х m-мерный вектор, то и
λ
Х тоже m-мерный вектор.
Сумма m-мерных векторов дает снова m-мерный вектор, компоненты которого
являются суммами одноименных компонент слагаемых векторов.
Пример 2. Если X
1
=(2, -4, 0, 8, 4); Х
2
= (0, 2, 8, -1, -2); Х
3
=(3, 5, 2, 2, -1), то
X=X
1
+X
2
+X
3
=(5, 3, 10, 9, 1).
Число, равное сумме произведений одноименных координат двух m-мерных
векторов, называется их скалярным произведением, т. е. если X=(x
1
, х
2
, ..., x
т
) и
У=[y
1
,y
2
,…,y
т
] m-мерные векторы, то их скалярное произведение есть число
XY=YX=x
1
y
1
+x
2
y
2
+...+.x
m
y
m
.
Пример 3. Даны два шестимерных вектора Х=(2, 5, -1, 3, 0, 5); У= [3, -2, 0, 1, 2, 3].
Скалярное произведение этих векторов есть число
ХУ = 2⋅3+5⋅ (-2) +(-1)⋅0+3⋅1+0⋅2+5⋅3=14.
Скалярное произведение может быть использовано для краткой записи различных
выражений. Например, целевая функция в линейном программировании
F = c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ . . . + c
n
x
n
может быть кратко записана в виде
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- …
- следующая ›
- последняя »
