Составители:
Рубрика:
41
Если равенство. (2.1.17) может выполняться, кроме а
j
= 0 (j=1, 2, ..., k), еще при
других значениях коэффициентов а
j
, не все из которых равны нулю, то векторы A
1
, A
2
, ....
A
k
считаются линейно зависимыми.
Если k векторов линейно зависимы, то по крайней мере один из них может быть
представлен как линейная комбинация остальных k-1 векторов. Действительно, если
векторы A
1
, ..., A
k
линейно зависимы, то в соотношении (2.1.17) найдется по крайней мере
один из коэффициентов a
i
≠0. Изменяя, если это нужно, нумерацию, можно считать a
k
≠0.
Тогда из равенства (2.1.17) получаем
....
1
1
2
2
1
1
−
−
−−−−=
k
k
k
kk
k
A
a
a
A
a
a
A
a
a
A
Вектор A
k
представлен в виде линейной комбинации k-1 векторов A
1
, ..., A
k-1
, с
коэффициентами
....;;;
1
1
2
2
1
1
k
k
k
kk
a
a
a
a
a
a
−
−
−=−=−=
λλλ
Если векторы линейно независимы, то этого сделать нельзя. Поэтому можно дать
другое определение линейной независимости векторов. Векторы A
1
, A
2
, .... A
k
называются
линейно независимыми, если никакой из них не может быть представлен в виде линейной
комбинации остальных.
Например, если три трехмерных вектора не лежат в одной плоскости, то никакой из
них не может быть выражен в виде линейной комбинации остальных, так как любая
линейная комбинация пары векторов лежит в плоскости этой пары. Поэтому любые три
трехмерных вектора, не лежащих в одной плоскости, линейно независимы. Наоборот,
всякие три трехмерных вектора, лежащих в одной плоскости, всегда линейно зависимы,
так как любой из них может быть представлен в виде линейной комбинации остальных.
Если вектор представляется в виде линейной комбинации некоторой системы
векторов, то говорят, что он разлагается или линейно выражается через эти векторы.
Пример 1. Три вектора А
1
=[2,1,3]; A
2
=[-2,1,0]; A
3
=[-2,3,3] линейно зависимы
потому, что А
3
=А
1
+2А
2
.
Пример 2. Четыре единичные вектора: е
1
=[1,0,0,0]; e
2
=[0,1,0,0]; e
3
=[0,0,1,0];
e
4
=[0,0,0,1] линейно независимы.
Действительно, из соотношения
a
1
e
1
+ a
2
e
2+
a
3
e
3
+ a
4
e
4
=0
или, что то же
=
+
+
+
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
4321
aaaa
непосредственно вытекает только:
a
1
= 0; a
2
= 0; a
3
= 0; a
4
= 0
Откуда и следует линейная независимость единичных векторов. Читателю
предоставляется проверить, что единичные векторы из любого пространства линейно
независимы.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »
