Составители:
Рубрика:
42
В дальнейшем изложении слово «линейно» мы будем пропускать и говорить
просто о зависимости или независимости векторов.
2.1.4. Ранг и базис системы векторов
Под рангом r системы т-мерных векторов A
1
, A
2
, … A
k
понимают максимальное
число линейно независимых векторов из этой системы.
В подробных курсах линейной алгебры доказано, что более чем m m-мерных
векторов всегда линейно зависимы. Следовательно, если система содержит более чем m
векторов (k>m), то ранг ее не может быть больше, чем m. Если система состоит из m m-
мерных векторов, то ранг ее может оказаться любым числом от 1 до m. Если в системе
содержится k<m векторов, то ранг ее может оказаться любым целым числом от 1 до k.
Таким образом, для любой системы k m-мерных векторов выполняется
J≤ r
≤
min{k, m}.
При этом предполагается, что нулевые векторы в систему не входят.
В этой главе мы видели, что всякая матрица размеров mxn может быть разложена
на п m-мерных векторов-столбцов A
1
, A
2
, .... A
n
. Ранг этой системы векторов называют
рангом матрицы.
Базисом системы векторов называется любая группа, состоящая из r
независимых векторов этой системы.
Если система содержит k>r векторов, то можно составить
)!(!
!
rkr
k
N
−
= (2.1.18)
различных сочетаний векторов по r векторов в каждом сочетании. Может оказаться, что в
каждом сочетании (группе) векторы независимы, тогда число различных базисов системы
будет равно N. Но может оказаться, что некоторые сочетания (группы) из r векторов
зависимы, тогда они не являются базисами системы. Таким образом, система векторов
может иметь несколько различных базисов, но не больше чем N, и каждый базис состоит
из одного и того же количества векторов, равного рангу системы.
Если из базиса изъять хотя бы один вектор, то оставшиеся векторы будут также
независимы, но базиса образовывать не будут. Так что базис - это не всякая группа
независимых векторов, а такая группа независимых векторов, в которой число векторов
равно рангу системы. Векторы, составляющие базис, называются базисными векторами.
Справедливо следующее утверждение, которое мы докажем.
Теорема о базисах. Группа независимых векторов A
1
, A
2
, .... A
s
будет базисом
системы векторов A
1
, A
2
, .... A
s
, A
s+1
, ..., A
k
в том и только в том случае, если каждый
вектор системы представляется в виде линейной комбинации векторов A
1
, A
2
, .... A
s
.
Доказательство. а) Достаточность условия. Допустим, что каждый из векторов Aj
системы представляется в виде линейной комбинации независимых векторов A
1
, A
2
, .... A
s
.
Тогда уже каждые s+1 векторов зависимы и поэтому ранг r системы не может быть
больше числа s. С другой стороны, по условию, s векторов A
1
, A
2
, .... A
s
независимы.
Следовательно, ранг системы r=s и векторы A
1
, A
2
, .... A
s
образуют ее базис.
б) Необходимость условия. Пусть векторы A
1
, A
2
, .... A
s
— базис системы. Каждый
вектор этого базиса, например вектор A
i
, может быть представлен в виде линейной
комбинации базисных векторов следующим образом:
А
i
=0А
1
+0⋅А
2
+. . .+0⋅A
i-1
,+1⋅A
i
+0⋅A
i
+0A
i+1
+…+0А
s
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- …
- следующая ›
- последняя »
