Математическое программирование и моделирование экономических процессов. Коробов П.Н. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГЛТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

43
Теперь рассмотрим подсистему векторов
A
1
, A
2
, .... A
s
, A
e
,
состоящую из базисных векторов и произвольного небазисного вектора A
l
.
Составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее нулевому вектору
a
1
A
1
+a
2
A
2
+…+a
s
A
s
+ a
l
A
l
(2.1.19)
Так как векторы, входящие в эту комбинацию, зависимы, то равенство (2.1.19)
должно выполняться, хотя бы при некоторых отличных от нуля коэффициентах. При этом
коэффициент a
l
; должен быть отличным от нуля. Действительно, если a
l
=0, то и все
остальные коэффициенты равны нулю, поскольку базисные векторы независимы. Это
противоречит тому, что не все коэффициенты в соотношении (2.1.19) равны нулю. При a
l
≠0 равенство (2.1.19) можно разрешить относительно вектора A
l
....
2
2
1
1
s
l
s
ll
l
A
a
a
A
a
a
A
a
a
A −−−−=
Итак, каждый вектор системы может быть выражен в виде линейной комбинации
базисных векторов, или, как говорят, разложен по базисным векторам.
Докажем, что разложение вектора системы по базисным векторам является
единственным, т. е. существует единственный набор коэффициентов
λ
1
,
λ
2
, …,
λ
s
с
которыми разлагается вектор по базисным векторам.
Предположим, что вектор A
l
может быть разложен по базисным векторам двумя
способами, т. е. с различными коэффициентами
:и
'
jj
λλ
A
l
=
λ
1
A
1
+
λ
2
A
2
+…+
λ
s
A
s
,
A
l
=
λ
'
1
A
1
+
λ
'
2
A
2
+…+
λ
'
s
A
s
.
Вычитая почленно из второго равенства первое равенство, получим:
0=(
λ
'
1
-
λ
1
)A
1
+(
λ
'
2
-
λ
2
)A
2
+…+(
λ
'
s
-
λ
s
)A
s
.
Так как базисные векторы A
1
, A
2
, .... A
s
независимы, то должно быть
λ
'
1
-
λ
1
=0;
λ
'
2
-
λ
2
=0; …;
λ
'
s
-
λ
s
=0
или
λ
'
1
=
λ
1;
λ
'
2
=
λ
2
; …;
λ
'
s
=
λ
s
.
Отсюда и следует единственность разложения любого вектора по векторам базиса.
2.1.5. Единичный базис. Таблица векторов по отношению
к единичному базису
Любой m-мерный вектор A=[a
1
, a
2
, …, a
m
] может быть представлен в виде
линейной комбинации единичных векторов е
1
, е
2
, ..., e
т
, при этом коэффициентами этой
линейной комбинации являются соответствующие компоненты a
i
, вектора A, т. е.
A=a
1
e
1
+ a
2
e
2
+…+ a
m
e
m
. (2.1.20)
Формула (2.1.20) является основной формулой линейной алгебры. Справедливость
равенства (2.1.20) можно усмотреть непосредственно, если записать его в более
подробном виде

Страницы