Составители:
Рубрика:
49
таблице так, как показано в нижеприведенной схеме (рис. 2.1.1).
Мы видим, что элементы, входящие в формулу (2.1.33), расположены по вершинам
прямоугольника и произведения их берутся по элементам противоположных вершин, как
показано на схеме стрелками; при этом произведение преобразуемого элемента на
ключевой элемент берется со знаком плюс, а произведение других двух элементов — со
знаком минус. Знаки произведений показаны на схеме рядом со стрелками. Теперь на
основании схемы и формулы (2.1.33) можно сформулировать следующее правило
преобразования элементов исходной таблицы векторов.
Для получения нового элемента (исключая элементы ключевой строки и ключевого
столбца), соответствующего старому элементу, нужно взять сумму произведений
элементов, находящихся в противоположных вершинах прямоугольника, построенного на
ключевой строке и ключевом столбце, и разделить эту сумму на ключевой элемент; при
этом произведение преобразуемого элемента на ключевой элемент надо брать со знаком
плюс, а второе произведение — со знаком минус.
Указанное правило принято называть правилом прямоугольника.
Итак, преобразование строк таблицы векторов при переходе к новому базису
может производиться по любому из трех вышеуказанных правил. В каждом конкретном
случае надо смотреть, какое из этих правил удобнее применять. Конечно, в любом случае
должен получаться один и тот же результат.
Суммируя равенство (2.1.31) по индексу j от 1 до п, получим
.
111
∑∑∑
===
−=
n
j
sji
n
j
ij
n
j
ij
aaab
(2.1.34)
Равенство (2.1.34) показывает, что сумма элементов строк (кроме ключевой строки)
преобразуется в сумму элементов строк новой таблицы по правилу преобразования
отдельных элементов. Этим можно воспользоваться для контроля вычислений, так как
ошибка в вычислении отдельного слагаемого вызовет ошибку в сумме. Получение же
одинаковой ошибки суммы при расчете ее различными способами маловероятно. Для
контроля вычислений следует дополнить исходную таблицу столбцом сумм элементов
строк и преобразовывать эти суммы по правилам замещения. При правильных расчетах
суммы элементов новых строк должны совпадать с преобразованными суммами по
правилам замещения. При обнаружении расхождения в указанных суммах в какой-либо
строке следует искать ошибку в вычислении элементов этой строки.
Получив таблицу векторов по отношению к новому базису, мы точно таким же
образом можем перейти от этой таблицы к следующей таблице векторов по отношению к
еще какому-либо базису системы векторов и т. д.
Пример.
Дана система из десяти четырехмерных векторов:
A
1
=(4,2,3,2); A
2
=(-1,0,2,-2);
A
3
=(2,-2,0,4); A
4
=(2,1,2,-1);
A
5
=(1,1,0,-2); A
6
=(2,1,3,-5);
e
1
=(1,0,0,0); e
2
=(0,1,0,0);
e
3
=(0,0,1,0); e
4
=(0,0,0,1).
Очевидным базисом этой системы является единичный базис, состоящий из
единичных векторов е
1
, е
2
, е
3
, e
4
четырехмерного пространства. Составляем таблицу
векторов A
j
, j=1, 2, ..., 6 по отношению к этому базису. Столбцами этой таблицы будут
сами векторы A
j
, j=1, ..., 6, так как коэффициентами в разложении векторов A
j
являются
компоненты этих векторов.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- …
- следующая ›
- последняя »
