Математическое программирование и моделирование экономических процессов. Коробов П.Н. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГЛТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

52
A
4
. Рекомендуется читателю произвести эту операцию замещения.
2.1.7. Разложение вектора по столбцам невыраженной матрицы
Квадратная матрица называется невырожденной, если все векторы-столбцы ее
линейно независимы. Если векторы-столбцы невырожденной матрицы A
1
,
A
2
,
..., A
m
дополнить произвольным m-мерным вектором В, то полученная система из m+1 векторов
будет иметь ранг r = m и векторы A
1
,
A
2
,
A
3
,..., A
m
составляют базис этой системы.
Квадратную матрицу m-го порядка, дополненную произвольным m-мерным вектором-
столбцом B=[b
1
, b
2
, ..., b
т
], мы можем представить как таблицу векторов A
1
,
A
2
,
A
3
,
..., A
m
, B
по отношению к единичному базису
e
1
e
2
.
.
.
e
m
A
1
A
2
. . .
A
m
. . . B
a
11
a
21
.
.
.
a
m1
a
12
. . .
a
22
. . .
.
.
.
a
m2
b
1
a
1m
.
.
.
a
mm
b
2
a
2m
.
.
.
b
m
Так как матрица А= (A
1
, А
2
, ..., A
m
) невырожденная, то мы можем, осуществляя
последовательно одноразовые операции замещения, вытеснить из базиса все единичные
векторы e
i
. и заменить их столбцами А
j
, матрицы А. В результате после перестановки
строк, если это необходимо, получим таблицу векторов следующего вида:
A
1
A
2
. . .
A
m
. . . B
A
1
A
2
.
.
.
A
m
1
0
.
.
.
0
0 . . .
1 …
.
.
.
0
0
0
.
.
.
1
1
β
2
.
.
.
β
m
из которой видно, что вектор
B=
β
1
A
1
+
β
2
A
2
+...+
β
m
A
m
(2.1.35)
Представление вектора В в виде линейной комбинации векторов A
1
,
A
2
,
..., A
m
является единственным, так как совокупность столбцов A
1
,
A
2
,
..., A
m
является базисом
системы векторов A
1
,
A
2
,
..., A
m
, В.
Итак, любой m-мерный вектор может быть единственным образом разложен по
столбцам невырожденной матрицы m-го порядка.
Пример.
Дана невырожденная матрица третьего порядка
−
−
=
141
012
131
A

Страницы