Математическое программирование и моделирование экономических процессов. Коробов П.Н. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГЛТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

56
где A
1
, A
2
, .... A
n
, В — столбцы расширенной матрицы системы (2.38). Вектор B=[b
1
,
b
2
,…, b
т
] называется вектором свободных членов.
В более подробной записи векторное равенство (2.1.40) имеет следующий вид:
=
++
+
m
mn
n
n
n
mm
b
b
b
a
a
a
x
a
a
a
x
a
a
a
x
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
2
1
2
1
2
22
12
2
1
21
11
1
которое равносильно m уравнениям (2.1.36).
Из уравнения (2.1.40) видно, что если вектор свободных членов В может быть
представлен в виде линейной комбинации столбцов A
1
, ..., A
n
матрицы системы (2.1.37), то
система (2.1.36) имеет решение, которое должно являться совокупностью коэффициентов
x
1
=a
1
, x
2
=a
2
, ..., x
n
=a
n
в разложении вектора В по векторам
А
J
,
j=l, 2, ..., п;
a
1
A
1
+ a
2
A
2
+…+ a
n
A
n
=B (2.1.41)
Тождество (2.1.41) показывает, что если система (2.1.36) имеет решение, т. е.
совместна, то столбцы A
1
, ..., A
n
, В расширенной матрицы системы (2.1.38) должны быть
линейно зависимы. В частности, если m=п и матрица системы невырожденная, то
разложение вектора В, как показано было в предыдущем параграфе, единственно. Значит,
в этом случае система (2.1.36) имеет единственное решение, которое является
совокупностью коэффициентов в разложении вектора В по независимым столбцам
А
J
,
j=l,
2, ..., п матрицы системы.
2.1.9. Базисные решения
В гл. I мы видели, что любая задача линейного программирования может быть
приведена (путем введения дополнительных уравнивающих переменных) к эквивалентной
задаче линейного программирования, в которой ограничения представляют собой систему
т линейных уравнений с п неизвестными, при этом число неизвестных п превосходит
число уравнений т.
Рассмотрим систему линейных уравнений, в которой m<n.
=+
+++++
=+
+++++
=+
+++++
++
++
++
mnmn
mmmmmmmm
nn
mmmm
mn
mmmm
bxa
xaxaxaxa
bxa
xaxaxaxa
bxa
xaxaxaxa
...
......
.........
,...
......
,...
......
11,2211
22
1122222121
11
11,11212111
(2.1.42)
Будем считать, что ранг системы (2.1.42) равен числу уравнений. Если ранг
совместной системы меньше числа уравнений (r<т), то в системе содержится только r
существенных (независимых) уравнений; остальные m-r уравнения являются следствиями
r существенных уравнений (линейными комбинациями этих r уравнений). При этом
любое решение системы из r существенных уравнений удовлетворяет каждому следствию,

Страницы