Составители:
Рубрика:
58
=+++
=+++
=+++
,...
..........................................
,...
,...
2211
22222121
11212111
mmmmmm
mm
mm
dxaxaxa
dxaxaxa
dxaxaxa
(2.1.45)
где числа:
−−−=
−−−=
−−−=
++
++
++
mmmmmmmm
mmmm
mmmm
aabd
aabd
aabd
αα
αα
αα
,11,
,211,222
,111,111
...
..........................................
...
,...
(2.1.46)
Система (2.1.45) имеет единственное решение
x
1
=
α
1
, x
2
=
α
2
, . . . , x
m
=
α
m
, (2.1.47)
зависящее от свободных членов d
1
, d
2
, ..., d
m
, которые в свою очередь зависят от
произвольно выбранных значений (2.1.44) свободных неизвестных. Совокупность
значений базисных неизвестных (2.1.47) и значений свободных неизвестных (2.1.44)
удовлетворяет системе уравнений (2.1.42) и, следовательно, является ее решением. Но так
как существует и бесконечное множество совокупностей произвольных значений
свободных неизвестных (2.1.44), то существует и бесконечное множество совокупностей
свободных членов (2.1.46) в определенной системе уравнений (2.1.45), каждой из которых
соответствует решение (2.1.47) системы (2.1.45). Таким образом, мы доказали, что система
(2.1.42) при т<п имеет бесчисленное множество решений, т. е. является неопределенной.
Например, система (б) в примерах предыдущего параграфа настоящей главы
неопределенна. В приведенном общем решении этой системы роль свободной
неизвестной играет неизвестная x
3
, принимающая произвольное значение t, а базисные
неизвестные x
1
=2-2t, х
2
=1+3t зависят от произвольного значения x
3
=t свободной
неизвестной.
Если свободным неизвестным придать нулевые значения, то такое решение
системы (2.1.42) называется базисным решением.
Система
(
2.1
.
42) имеет несколько базисных решений. Базисных решений столько,
сколько различных базисов имеет система столбцов матрицы системы. Наибольшее число
базисных решений равно числу сочетаний из п элементов по т, т. е .
)!(!
!
mnm
n
C
m
n
−
=
Если в системе уравнений (2.1.43), эквивалентной системе (2.1.42), приравнять
свободные неизвестные x
m+1
, ..., x
п
нулю, то базисные неизвестные x
1
, x
2
, ..., x
т
, в базисном
решении, связанном с базисом A
1
, A
2
, ..., A
m
, должны удовлетворять определенной системе
уравнений:
=+++
=+++
=+++
,...
..........................................
,...
,...
2211
22222121
11212111
mmmmmm
mm
mm
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
(2.1.48)
которую можно записать в векторном виде:
х
1
А
1
+ х
2
А
2
+ ... + х
m
А
m
=B. (2.1.49)
Решением уравнения (2.1.49) является единственный набор коэффициентов
β
1
,
β
2
,…,
β
m
в разложении вектора свободных членов В:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
