Составители:
Рубрика:
57
т. е. является решением всей системы из т уравнений. Наоборот, любое решение всей си-
стемы удовлетворяет r существенным уравнениям. Таким образом, обе системы являются
эквивалентными. Поэтому т-r следствий в системе могут быть без какого-либо ущерба
исключены из системы. В процессе нахождения базисных решений системы ниже-
изложенным методом следствия системы автоматически отсеиваются, обнаруживается
также несовместность системы. Поэтому при исследовании системы (2.1.42) мы вправе
считать ранг системы равным числу уравнений в системе, т. е. что в системе никакое
уравнение не является следствием остальных уравнений.
Всякую матрицу можно разбить на прямоугольные блоки, которые называются
подматрицами. Если матрица A системы (2.1.42) имеет ранг, равный числу ее строк, то она
может быть разбита (после соответствующей перенумерации столбцов, если это необ-
ходимо) на два блока, один из которых является квадратной невырожденной подматрицей
порядка m. Пусть эта подматрица состоит из первых т столбцов матрицы системы. Члены
с неизвестными x
1
, x
2
, ..., x
т
, соответствующими независимым столбцам A
1
, A
2
, ..., A
m
,
оставим в левых частях уравнений (2.1.42), а члены с остальными неизвестными x
m+1
,…,x
n
перенесем в правые части системы (2.1.42).
−−−
=+++
−−−
=+++
−−−
=+++
++
++
++
....
...
..........................................
,...
...
,...
...
11,
2211
211,22
2222121
111,11
1212111
nmnmmmm
mmmmm
nnmm
mm
nnmm
mm
xaxab
xaxaxa
xaxab
xaxaxa
xaxab
xaxaxa
(2.1.43)
Неизвестные x
1
, x
2
, ..., x
т
, соответствующие независимым столбцам A
1
, A
2
, ..., A
m
невырожденной подматрицы, называются базисными неизвестными, так как они
соответствуют базисным столбцам из совокупности всех столбцов расширенной матрицы
системы (2.1.42).
Неизвестные x
m+1
,…, x
п
, входящие в правые части уравнений системы (2.1.43),
называются небазисными, или свободными неизвестными.
Если, например, столбец A
m+1
расширенной матрицы системы ввести в базис
вместо столбца А
m
и новая группа векторов A
1
, A
2
, ..., A
m-1
, A
m+1
снова образует базис всех
столбцов матрицы А, то этому базису будет соответствовать система, записанная анало-
гично системе (2.1.43), с той лишь разницей, что члены с неизвестной X
m+1
будут
находиться в левых частях уравнений системы, а члены с неизвестной X
m
перейдут в
правые части уравнений системы. Таким образом, базисные неизвестные могут
переходить в свободные и, наоборот, свободные—в базисные неизвестные.
Придадим свободным неизвестным в системе (2.1.43) произвольные значения:
X
m+1
=a
m+1
,…,x
n
=a
n
. (2.1.44)
Тогда получим систему т уравнений с т неизвестными с невырожденной
матрицей:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- …
- следующая ›
- последняя »
