Составители:
Рубрика:
59
β
1
A
1
+
β
2
A
2
+…+
β
m
A
m
=B, (2.1.50)
по базисным векторам A
1
, A
2
, ..., A
m
.
Процесс нахождения коэффициентов
β
1
,
β
2
,…,
β
m
нам известен; они могут быть
найдены по методу, изложенному в 2.1.7 настоящей главы, который называется методом
Жордана - Гаусса. Преобразованиям по методу Жордана - Гаусса мы можем подвергнуть
всю расширенную матрицу системы (2.1.42). Тогда система (2.1.42) перейдет в
эквивалентную систему с единичным базисом, то есть:
=++++
=++++
=+++
++
++
++
,'...'
.........
,'...'
,'...'
'
11,
'
2211,22
'
1111,11
mnmnmmmm
nnmm
nnmm
bxaxax
bxaxax
bxaxax
(2.1.51)
которая разрешена относительно базисных неизвестных x
1
, x
2
, ..., x
т
и из которой
непосредственно получается базисное решение:
x
1
= .0,...,0,,...,,
1
''
22
'
1
====
+
nmmm
xxbxbxb
Для получения какого-нибудь другого базисного решения надо найти значения
новых базисных переменных как коэффициентов в разложении вектора свободных членов
по векторам нового базиса, связанного с этим другим базисным решением. А для этого
надо просто пересчитать таблицу столбцов расширенной матрицы системы, т. е.
осуществить одноразовую операцию замещения; при этом базисная неизвестная x
i
,
отвечающая вытесненному из базиса вектору A
i
, перейдет в свободные неизвестные, а
неизвестная
X
J
,
отвечающая введенному в базис вектору A
j
перейдет в базисные
неизвестные.
Так как каждая таблица столбцов расширенной матрицы системы по отношению к
какому-либо базису является расширенной матрицей какой-либо эквивалентной системы,
то в таблице вместо векторов A
j
можно писать соответствующие наименования неизве-
стных x
j
; тогда в каждой таблице с левой стороны будут стоять наименования базисных
неизвестных x
j
, значения которых равны соответствующим числам в столбце В, который
при вычислении базисных решений целесообразнее помещать не в конце, а в первых
столбцах таблицы рядом со столбцом наименований базисных неизвестных. Если в
матрице системы не содержится единичных векторов-столбцов, то в систему вводятся
искусственные переменные, соответствующие единичным столбцам е
i
, i=l, 2, ..., т, кото-
рые называются искусственными векторами. Если в матрице системы содержится только
часть единичных столбцов, то в систему вводятся искусственные переменные,
соответствующие недостающим единичным столбцам. В том и другом случае мы имеем
систему с единичным базисом. Одно из базисных решений этой системы находится
непосредственно, а именно: базисное решение, связанное с единичным базисом, в котором
базисные неизвестные x
i
равны соответствующим свободным членам b
i
системы. Далее,
после того как мы исключим из базисных переменных все искусственные переменные,
заменив их постепенно истинными переменными, будем получать базисные значения
истинных переменных, которые вместе с другими свободными истинными переменными,
равными нулю, будут давать базисные решения исходной системы. Искусственные
переменные, перешедшие в нулевые свободные неизвестные, далее в расчет не
принимаются.
Пример 1.
Найти два любых базисных решения системы уравнений:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- …
- следующая ›
- последняя »
