Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ФРАКТАЛОВ
10
Рис. 1.1. Канторовское множество.
бесконечное число изолированных точек, которое и получило
название канторовского множества
.
Вычислим теперь фрактальную размерность этого множества.
Воспользуемся для этого, например, формулой (1.1.2). Очевидно,
что на
-м шаге построения имеется отрезков длиной
каждый. Поэтому в качестве
n
n
2
n
3/1
(
)
lN на этом шаге мы можем взять
величину
, а в качестве
n
2
l
– величину . Предел
соответствует пределу
n
3/1 0→l
∞
→n . Поэтому фрактальная
размерность равна
()
6309,0
3ln
2ln
3/1ln
2ln
lim ==−=
∞→
n
n
n
D . (1.2.1)
Она оказалась меньше Евклидовой размерности пространства
(
), в котором располагается это множество, но все-таки,
несмотря на то, что длина его равна нулю, отлична от нуля, т.е.
больше топологической размерности элементов (точек) этого
множества.
1=d
Кривая Коха строится следующим образом (см. рис. 1.2). Пусть
– начальный отрезок (рис. 1.2, а). Уберем среднюю треть и
добавим два новых отрезка такой же длины, как показано на
рис. 1.2, б. Назовем полученное множество . Повторим данную
0
K
1
K
Глава 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ФРАКТАЛОВ




                 Рис. 1.1. Канторовское множество.

бесконечное число изолированных точек, которое и получило
название канторовского множества.
   Вычислим теперь фрактальную размерность этого множества.
Воспользуемся для этого, например, формулой (1.1.2). Очевидно,
что на n -м шаге построения имеется 2 n отрезков длиной 1/ 3 n
каждый. Поэтому в качестве N (l ) на этом шаге мы можем взять
величину 2 n , а в качестве l – величину 1/ 3 n . Предел l → 0
соответствует    пределу     n →∞.   Поэтому       фрактальная
размерность равна
                              ln 2 n     ln 2
                 D = − lim             =      = 0,6309 .   (1.2.1)
                             (     )
                      n → ∞ ln 1 / 3 n   ln 3
Она оказалась меньше Евклидовой размерности пространства
( d = 1 ), в котором располагается это множество, но все-таки,
несмотря на то, что длина его равна нулю, отлична от нуля, т.е.
больше топологической размерности элементов (точек) этого
множества.
    Кривая Коха строится следующим образом (см. рис. 1.2). Пусть
K 0 – начальный отрезок (рис. 1.2, а). Уберем среднюю треть и
добавим два новых отрезка такой же длины, как показано на
рис. 1.2, б. Назовем полученное множество K1 . Повторим данную

10

Страницы