Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

1.2. Регулярные фракталы
11
Рис. 1.2. Этапы построения кривой Коха.
а – K , б – , в – K , г – .
0 1
K K
2 3
процедуру многократно, на каждом шаге заменяя среднюю треть
двумя новыми отрезками. Обозначим через
фигуру,
получившуюся после
-го шага. Последовательность кривых
сходится к некоторой предельной кривой
n
K
n
{}
∞
=1n
n
K
K
, которая и
называется кривой Коха.
Подсчитаем ее фрактальную размерность. Возьмем в
качестве длины длину начального отрезка
1
=
l
, тогда число
отрезков такой длины, которые покрывают кривую Коха на этом
(нулевом) шаге (см.
рис. 1.2, а), равно 1)(
1
=
lN . Затем при
переходе к следующему шагу (
рис. 1.2, б) мы имеем 3/1
=
′
l , а
число отрезков
(
)
4
=
′
lN . Поэтому фрактальная размерность
кривой Коха (в соответствии с (1.1.3)) равна
2618,1
3ln
4ln
)3ln(
)4/1ln(
==−=D
. (1.2.2)
Эта величина больше единицы (топологической размерности
линии), но меньше Евклидовой размерности плоскости,
2
=
d , на
которой расположена кривая.
Еще одно важное свойство, которым обладает кривая Коха –
ее бесконечная длина. Действительно, если исходный отрезок
0
K
                                                  1.2. Регулярные фракталы




             Рис. 1.2. Этапы построения кривой Коха.
                  а – K 0 , б – K1 , в – K 2 , г – K 3 .

процедуру многократно, на каждом шаге заменяя среднюю треть
двумя новыми отрезками. Обозначим через K n фигуру,
получившуюся после n -го шага. Последовательность кривых
{K n }∞n=1 сходится к некоторой предельной кривой K , которая и
называется кривой Коха.
    Подсчитаем ее фрактальную размерность. Возьмем в
качестве длины длину начального отрезка l = 1, тогда число
отрезков такой длины, которые покрывают кривую Коха на этом
(нулевом) шаге (см. рис. 1.2, а), равно N1(l ) = 1 . Затем при
переходе к следующему шагу (рис. 1.2, б) мы имеем l ′ = 1/ 3 , а
число отрезков N (l ′) = 4 . Поэтому фрактальная размерность
кривой Коха (в соответствии с (1.1.3)) равна
                          ln(1/ 4) ln 4
                    D=−           =      = 1,2618 .               (1.2.2)
                           ln(3)    ln 3
Эта величина больше единицы (топологической размерности
линии), но меньше Евклидовой размерности плоскости, d = 2 , на
которой расположена кривая.
   Еще одно важное свойство, которым обладает кривая Коха –
ее бесконечная длина. Действительно, если исходный отрезок K 0

                                                                       11

Страницы