Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 8 стр.

Глава 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ФРАКТАЛОВ

проявляется    в   поведении     функций,    характеризующих
распределение физических величин во времени и пространстве.
   При описании свойств фрактала важную роль играет такая его
характеристика как фрактальная размерность. Дадим общее
определение этой величины. Пусть d – обычная Евклидова
размерность   пространства,    в   котором   находится      наш
фрактальный объект ( d = 1 – линия, d = 2 – плоскость, d = 3 –
обычное трехмерное пространство). Покроем теперь этот объект
целиком d -мерными "шарами" радиуса l . Предположим, что нам
потребовалось для этого н е м е н е е , чем N (l ) шаров. Тогда,
если при достаточно малых l величина N (l ) меняется с l по
степенному закону
                            N (l ) ~ 1 l D ,                 (1.1.1)
то D – называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича или
фрактальной размерностью этого объекта.
   Используя понятие фрактальной размерности, Мандельброт
дал более строгое, чем приведенное выше, определение
фрактала. Согласно этому определению фрактал представляет
собой объект, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого
больше его топологической размерности (0 – для россыпи точек,
1 – для кривой, 2 – для поверхности и т.д.).
   Формулу (1) можно переписать также в виде
                                       ln N ( l )
                          D = − lim               .          (1.1.2)
                                l →0     ln l
Это и служит общим определением фрактальной размерности D .
В соответствии с ним величина D является л о к а л ь н о й
характеристикой данного объекта. Совершенно ясно, что мы
получили бы при оценке фрактальной размерности тот же самый
результат, если бы использовали процедуру покрытия фрактала
кубами (квадратами, если фрактальный объект располагается на
плоскости). Иногда покрытие осуществляется элементами, из
которых состоит данный фрактал. В этом случае имеет место
упрощенный вариант формулы (2) для определения фрактальной
размерности. Пусть на некотором этапе покрытия фрактала нам
пришлось использовать, как минимум, N (l ) таких элементов
характерного размера l , а на другом N (l ′) элементов размера l ′ .
8