Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 19 стр.

                                                       1.4. Мультифракталы

треугольник DFC , хотя в нем в 20 раз меньше точек, по своим
статистическим и геометрическим свойствам полностью подобен
большому треугольнику ABC . Так же, как и в большом
треугольнике, точки в нем концентрируются в основном вблизи
вершины D – аналоге вершины A .
    Несмотря на неравномерность распределения точек по
фракталу, его фрактальная размерность осталась при этом
прежней,       D = ln 3 / ln 2 . Такое    совпадение        говорит      о
необходимости поиска иных количественных характеристик,
которые могли бы отличить неравномерное распределение точек
от равномерного.
    В качестве еще одного примера неоднородного фрактала
приведем       так     называемое      неоднородное        канторовское
множество. Возьмем уже знакомое нам канторовское множество
исключенных средних третей рис. 1.1. Пусть в начале процедуры
(нулевой шаг) у нас имеется единичный отрезок, по которому как-
то распределены N точек нашего фрактального множества. На
первом шаге мы уже имеем 2 отрезка по краям первоначального
единичного интервала, каждый из них длиной 1/ 3 .
    Пусть наши исходные N точек распределены по ним теперь
следующим образом. Левый отрезок заселен с вероятностью p1 и
имеет p1N точек, а правый с вероятностью p2 = 1 − p1 , и на нем,
соответственно, находится p2N точек. Затем с каждым из этих
отрезков мы поступаем аналогичным образом. В результате на
втором шаге у нас уже имеется 4 отрезка длиной 1 / 9 ,
заселенных с вероятностью (слева направо) p12 , p1p2 , p2 p1 , p22
(см. рис. 1.10) и т.д.
    На шаге n наше множество состоит из 2 n отрезков длиной
1/ 3 n , заселенных с вероятностями p1n , p1n−1p2 , p1n− 2 p22 ,…, p2n (не
в порядке их расположения!). При этом число отрезков,
характеризуемых вероятностью p1n − m p2m , равно числу сочетаний
Cnm из n элементов по m . В результате при n → ∞ и p1 ≠ 1 / 2
мы, в конце концов, приходим к неоднородному фрактальному
множеству.


                                                                       19