Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

1.5. Толстые (“жирные”) фракталы
21
Простой пример толстого фрактала можно получить,
используя процедуру, похожую на процедуру построения
канторовского множества. На первом этапе построения из
единичного интервала удаляется средняя часть длиной
31 ; на
втором этапе из каждой из двух оставшихся третей удаляются
средние части длиной
91 ; на третьем – из каждого из четырех
оставшихся отрезков удаляются средние части длиной
811 и
т.д. На каждом этапе мы удаляем центральные части,
относительная длина которых равна
(
)
k
2
31 (рис. 1.11). После
итераций получаем отрезков, общая длина которых равна n
n
2
Рис. 1.11. Построение толстого фрактала.
(
)
∏
−
=
−
−=µ
1
0
2
31
n
k
n
k
. (1.5.1)
При
величина длина (мера) множества ∞→n
n
µ
стремится к
ненулевому значению:
5851874,0
=
µ
∞
…
Несколько более тощий толстый фрактал мы получим, если
будем изымать при каждой итерации центральные части
относительной длины
. В этом случае полная длина
остающихся отрезков составит
k−
3
(
)
...560,031
0
=−=µ
∏
∞
=
−
∞
k
k
(1.5.2)
Для характеристики толстых фракталов используется, как
правило, один из нескольких
показателей скейлинга. Самый 
                                                         1.5. Толстые (“жирные”) фракталы

   Простой пример толстого фрактала можно получить,
используя процедуру, похожую на процедуру построения
канторовского множества. На первом этапе построения из
единичного интервала удаляется средняя часть длиной 1 3 ; на
втором этапе из каждой из двух оставшихся третей удаляются
средние части длиной 1 9 ; на третьем – из каждого из четырех
оставшихся отрезков удаляются средние части длиной 1 81 и
т.д. На каждом этапе мы удаляем центральные части,




            Рис. 1.11. Построение толстого фрактала.


относительная длина которых равна (1 3 )
                                                               2k
                                                                    (рис. 1.11). После
                       n
n итераций получаем 2 отрезков, общая длина которых равна

                                             (           )
                                      n −1
                        µ n = ∏ 1 − 3 −2 .
                                                     k
                                                                                 (1.5.1)
                                      k =0

При n → ∞ величина длина (мера) множества µ n стремится к
ненулевому значению: µ ∞ = 0,5851874 …
   Несколько более тощий толстый фрактал мы получим, если
будем изымать при каждой итерации центральные части
относительной длины 3 − k . В этом случае полная длина
остающихся отрезков составит

                                  (              )
                            ∞
                    µ ∞ = ∏ 1 − 3 − k = 0,560...                                 (1.5.2)
                           k =0

   Для характеристики толстых фракталов используется, как
правило, один из нескольких показателей скейлинга. Самый
                                                                                      21

Страницы