Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 22 стр.

Глава 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ФРАКТАЛОВ

полезный показатель скейлинга определяется следующим
образом: заполним все пустоты, длина которых не превышает
ε , и аппроксимируем меру µ(ε ) получившегося в результате
множества степенным законом, ε → 0 ,
                              µ(ε ) = µ(0 ) + cε β ,                               (1.5.3)
где c – постоянная, а β – показатель скейлинга; причем
0 ≤ β ≤ ∞ . Положим в нашем примере (с удалением средних
частей длиной 3 − k ) ε = 3 − k ; тогда
                                                            µ(0 )
                                   (             )
                            n −1
                      µ n = ∏ 1 − 3 −k =                                       ,   (1.5.4)
                                                     ∏ (1 − 3              )
                                                      ∞
                           k =0                                     −k 1

                                                     k =n

или
                                       (
                      µ(ε ) = µ(0 ) 1 + 3 − n + 3 − n −1 + K .         )           (1.5.5)
Отсюда, при n → ∞ ,
                                                     ( )
                      µ(ε ) − µ(0 ) = µ(0 ) 3 − n = µ(0 )ε .                       (1.5.6)
   Таким образом, показатель скейлинга β для толстого
фрактала, определяемого соотношением (2), равен 1 .
   Обозначив меру пустот, меньших ε , через F (ε ) , мы можем
записать показатель скейлинга также в следующем виде:
                            ln F (ε )
                                   β = lim
                                      .            (1.5.7)
                              ln ε         ε→∞

Тем самым показатель β определяется скоростью обращения в
нуль меры малых пустот.




22