Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 24 стр.

Глава 2. ОСНОВЫ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА


                                 1       x  ⎛ 1 ⎛ s − µ ⎞2 ⎞
                 FX ( x ) =           ∫ exp⎜⎜ − 2 ⎜⎝ σ ⎟⎠ ⎟⎟ds ,
                                2π σ − ∞
                                                                                            (2.1.1)
                                            ⎝              ⎠

                                  1       ⎛ 1 ⎛ x − µ ⎞2 ⎞
                    f (x) =            exp⎜ − ⎜       ⎟ ⎟.                                  (2.1.2)
                                  2π σ    ⎜ 2⎝ σ ⎠ ⎟
                                          ⎝              ⎠
Здесь µ – математическое ожидание, σ – стандартное
(среднеквадратичное) отклонение случайной величины X .
   Приращения функции
                          ∆X = X (t 2 ) − X (t1 ), t 2 > t1 ,                               (2.1.3)
также  имеют    гауссовское    распределение                                   (с         нулевым
математическим ожиданием), так что вероятность
                                     1           x
                                                         ⎛         u2             ⎞
          P (∆X < x ) =                          ∫ exp⎜⎜ − 2σ2 (t                 ⎟du .     (2.1.4)
                              2πσ (t 2 − t1 ) −∞
                                  2
                                                         ⎝           2    − t1 ) ⎟⎠

   Из последнего свойства вытекает следующее выражение для
дисперсии приращений броуновского сигнала:
                          D[Х (t 2 ) − X (t1 )] = σ 2 t 2 − t1                              (2.1.5)
для любых t1 и t 2 из рассматриваемого временного интервала.
Применительно к дисперсии приращений часто используется
термин дельта-дисперсия. Существенно, что величина дельта-
дисперсии σ 2 t 2 − t1 зависит только от разности t1 и t 2 , а не от
самих значений. Формула (5) является очень важной в
практическом отношении. Если при обработке сигнала
подтверждается    ее    справедливость, то  это   означает
принадлежность его структуры к случайным фракталам с
размерностью D = 1,5 (см. ниже).
   Математическое     ожидание   приращения  (структурная
функция сигнала) определяется выражением:

                      [
                    E X (t 2 ) − X (t1 ) =   ]       2
                                                     π
                                                       σ | t 2 − t1 | .                     (2.1.6)

  Любое приращение реализации броуновского сигнала
обладает свойством статистического самоподобия, то есть:
24