Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 25 стр.

                                                                 2.1. Броуновские сигналы

                                  ∆     1
              X (t + ∆t ) − X (t ) =           ( X (t + r∆t ) − X (t )) ,        (2.1.7)
                                           r
                                       ∆
для любого r > 0 . Символ = означает, что две случайные
величины имеют одинаковое распределение и, в частности, одни
и те же математическое ожидание и дисперсию. Строго говоря,
следует говорить не столько о самоподобии, сколько о
самоафинности, т.к. статистическая идентичность достигается
различным масштабированием сигнала по оси абсцисс и по оси
ординат (соответственно в r и       r раз). Однако мы в
дальнейшем будем по-прежнему говорить о самоподобии
броуновского сигнала, придавая самоподобию более широкий
смысл.
   Наличие самоподобия в характере изменения приращений на
различных интервалах позволяет распространить стандартную
процедуру определения фрактальной размерности на график
броуновского сигнала. Сделаем это следующим образом. Пусть
интервал, на котором определен сигнал, равен [0, 1] . Разделим
этот интервал на n равных подынтервалов одинаковой длины
∆t = 1 n и таким же образом разделим вертикальную ось на
подынтервалы длины ∆t . Выражение ∆X ∆t служит в качестве
оценки числа квадратов размера ∆t , необходимых для покрытия
части   графика    y = X (t ) , расположенной   над    одним
подынтервалом. Так как математическое ожидание величины
∆X пропорционально          ∆t , то число квадратов, необходимых на
одном подынтервале, пропорционально ∆t . Всего имеется 1 ∆t
таких подынтервалов, и поэтому общее число квадратов
пропорционально:
                             N ( ∆t ) ∝ ∆t −3 / 2 ,                              (2.1.8)
или
                                       log N ( ∆t )
                       D = − lim                    = 1,5 .                      (2.1.9)
                              ∆t → 0     log ∆t


                                                                                      25