Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 26 стр.

Глава 2. ОСНОВЫ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА

Таким образом, фрактальная                          размерность                  броуновского
сигнала равна 1,5 .

        2.2. Описание сигналов на основе модели
          обобщенного броуновского движения
   Рассмотренную выше модель классического броуновского
движения можно рассматривать как модель марковских
случайных процессов. Для соответствующих им сигналов
вероятность того, что X (t 2 ) достигнет определенного значения
при заданном X (t1 ) ( t1 < t 2 ), зависит только от t1 и t 2 , а не от
поведения X (t ) при t < t1 . Такие сигналы имеют строго
определенное значение фрактальной размерности D = 1,5 , т.е.
являются броуновскими. В тех случаях, когда нужно описать
случайные сигналы с другими значениями D , обладающие
некоторой “памятью”, прибегают к модели обобщенного
броуновского движения (ОБД).
   Считается, что гауссовский сигнал X (t ) со стандартным
отклонением σ подчиняется модели ОБД, если приращение
                                ∆X = X (t 2 ) − X (t1 )                                (2.2.1)
имеет гауссовское распределение, характеризуемое выражением

                      1           x   ⎛ 1⎛        u              ⎞
                                                                     2
                                                                         ⎞
                                      ⎜− ⎜                       ⎟       ⎟du .
                               H ∫
P ( ∆X < x ) =                     exp    ⎜                      ⎟                     (2.2.2)
                 2πσ(t 2 − t1 ) − ∞   ⎜ 2 ⎝ σ(t 2 − t1 )H                ⎟
                                      ⎝                          ⎠       ⎠
     Из (2) следует, что в модели ОБД дельта-дисперсия равна
                          [                 2
                                                ]
                        E ( X (t 2 ) - X (t1 )) = σ2 t 2 − t1
                                                                2H
                                                                     .                 (2.2.3)
    Входящий в вышеприведенные соотношения параметр H
( 0 < H < 1 ) называется параметром Херста. При H = 1 2 модель
ОБД совпадает с классической моделью броуновского движения.
    Математическое ожидание приращения сигнала (т.е.
структурная       функция    первого  порядка)   определяется
выражением

                          [                ]
                       E X (t 2 ) − X (t1 ) =
                                                    2
                                                    π
                                                      σ(t 2 − t1 ) .
                                                                  H
                                                                                       (2.2.4)

26