Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 27 стр.

    2.2. Описание сигналов на основе модели обобщенного броуновского движения

Формула (4) допускает обобщение на структурные функции
порядка q ( q – положительное число). Используя (2), можно
показать, что

                          [
                        E X (t 2 ) − X (t1 ) =
                                                   q
                                                       ]      2
                                                              π
                                                                σ(t 2 − t1 ) .
                                                                            qH
                                                                                         (2.2.5)

   Приращения     обладают    свойством   статистического
самоподобия, которое математически выражается следующим
образом:
                                              ∆     1
                     X (t + ∆t ) − X (t ) =           ( X (t + r∆t ) − X (t ))           (2.2.6)
                                                   rH
для любого r > 0 .
   Фрактальная размерность сигнала обобщенного броуновского
движения вычисляется так же, как и для классического. Основное
отличие состоит в том, что оценка числа квадратов (2.1.8)
заменяется новой оценкой
                                                             σ
                                        N ( ∆t ) ≈                ,                      (2.2.7)
                                                           ∆t 2−H
что приводит к соотношению
                                             log N ( ∆t )
                              D = − lim                   =2−H .                         (2.2.8)
                                     ∆t →0     log ∆t
   Моделирование фрактальных сигналов для всего диапазона
возможного изменения фрактальной размерности 1 < D < 2
удобно осуществлять с помощью функции Вейерштрасса

                   [1 − b ]                                     (                )
                              1     N
                       2D − 4 2
                                  ⋅ ∑ b ( D − 2 )⋅n ⋅ cos 2π ⋅ s ⋅ b n t + ψ n
X (t ) = 2 ⋅ σ ⋅                   n =0
                                        [1 − b (   2 D − 4 )(N +1)
                                                                     ]               ,   (2.2.9)

где σ – стандартное отклонение, b, s          – параметры
пространственно-частотного масштабирования, D – фрактальная
размерность, связанная с параметром Херста соотношением
D = 2 − H . N + 1 – количество гармоник (при N → ∞ функция
Вейерштрасса представляет собой идеальный математический



                                                                                             27