Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 2. ОСНОВЫ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА
32
структурной функции). По установленному значению параметра
Херста
легко определяется фрактальная размерность
(
). Интервал, в пределах которого графики дельта-
дисперсии и структурной функции хорошо аппроксимируются
прямой, определяет ширину области скейлинга.
H D
HD −= 2
Проиллюстрируем сказанное на примере обработки
модельных сигналов. Поскольку на практике обработку сигналов
в той или иной программной среде удобнее проводить с помощью
индексированных функций, перейдем от функций
к
индексированным функциям
. (время связано с индексом
соотношением
)(tX
k
X t
,...3,2,1=k tkt
∆
⋅
=
, где t
∆
– временной
интервал между значащими точками сигнала). Графики
модельных сигналов приведены на
рис. 2.4, а-в.
Сигналы
и построены с помощью функций
Вейерштрасса (см.(2.2.9)) для значений фрактальной
размерности
)1(
k
X
)2(
k
X
1,1
1
=
D и 8,1
2
=
D соответственно. Сигнал
представляет собой сигнал
, на который наложен шум,
описываемый функцией
)3(
k
X
)1(
k
X
(
)
k
krnd
X
ш
k
⋅= 1,0
)(
. Построенные в
двойном логарифмическом масштабе графики, характеризующие
поведение структурных функций
сигналов
n
S
(
)
3,2,1
)(
=mX
m
k
,
приведены на
рис. 2.5, а-в. Структурные функции вычислялись
согласно выражению
[
]
∑
−
=
++
−
−
=−=
nK
k
m
k
m
nk
m
k
m
nk
m
n
XX
nK
XXES
1
)()()()()(
1
, (2.5.1)
(см. (2.2.4). По оси ординат отложена величина
,
а по оси абсцисс –
. Усреднение в (1) проводится по всем
значениям
.
)(log
)(
2
)( m
n
m
n
SL =
n
2
log
k
На
рис. 2.5, а-в также приведены функции
(
)
m
n
f ,
представляющие линейную аппроксимацию зависимостей
.
Хорошо видно, что величины
и , относящиеся к
)( m
n
L
)1(
n
L
)2(
n
L
Глава 2. ОСНОВЫ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА

структурной функции). По установленному значению параметра
Херста H легко определяется фрактальная размерность D
( D = 2 − H ). Интервал, в пределах которого графики дельта-
дисперсии и структурной функции хорошо аппроксимируются
прямой, определяет ширину области скейлинга.
    Проиллюстрируем            сказанное    на   примере   обработки
модельных сигналов. Поскольку на практике обработку сигналов
в той или иной программной среде удобнее проводить с помощью
индексированных функций, перейдем от функций X (t ) к
индексированным функциям X k . (время t связано с индексом
 k = 1, 2, 3,... соотношением t = k ⋅ ∆t , где ∆t – временной
интервал между значащими точками сигнала). Графики
модельных сигналов приведены на рис. 2.4, а-в.
                    (1)          (2)
    Сигналы X k           и Xk       построены с помощью функций
Вейерштрасса            (см.(2.2.9))   для    значений   фрактальной
                                                                  (3)
размерности D1 = 1,1 и D2 = 1,8 соответственно. Сигнал X k
                                                           (1)
представляет собой сигнал X k , на который наложен шум,
                                     rnd (k )       (ш )
описываемый           функцией                              = 0,1 ⋅
                                              . Построенные в
                                              Xk
                                       k
двойном логарифмическом масштабе графики, характеризующие
поведение структурных функций Sn сигналов X k (m = 1, 2, 3 ) ,
                                                   (m)


приведены на рис. 2.5, а-в. Структурные функции вычислялись
согласно выражению

         Sn
              (m)
                        [
                    = E X k +n
                                 (m)
                                       − Xk
                                              (m)
                                                    ] = K 1− n ∑ X     K −n


                                                                       k =1
                                                                              k +n
                                                                                     (m)
                                                                                           − Xk
                                                                                                  (m)
                                                                                                        ,   (2.5.1)

                                                                                           (m)                (m)
(см. (2.2.4). По оси ординат отложена величина Ln = log2 (Sn ) ,
а по оси абсцисс – log2 n . Усреднение в (1) проводится по всем
значениям k .
   На      рис. 2.5, а-в  также   приведены     функции     fn(m ) ,
                                                                                                               (m )
представляющие линейную аппроксимацию зависимостей Ln                                                                 .
                                                                 (1)            ( 2)
Хорошо видно, что величины Ln                                           и Ln           , относящиеся к



32

Страницы