Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
40
Глава 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Реальные физические объекты и сигналы, даже обладающие
признаками самоподобия, очень редко могут быть описаны с
помощью лишь одной величины фрактальной размерности.
Именно поэтому в последнее время получил большое
распространение анализ, основанный на теории
мультифракталов – неоднородных фрактальных объектов.
Понятие мультифрактала предоставляет новые обширные
возможности фрактального анализа сложных стохастических
процессов. Для характеристики мультифрактала
недостаточно
одной величины, его фрактальной размерности, а необходим
бесконечный спектр таких размерностей. Идея
мультифрактального анализа состоит в разложении
исследуемого множества со сложной статистикой по множествам
однородных фракталов с четко выраженной фрактальной
размерностью. При этом мультифрактальный анализ может
привести к нетривиальным результатам в применении не только к
самоподобным объектам с фрактальной
геометрией.
3.1. Основные понятия
Дадим общее определение мультифрактала. Рассмотрим
фрактальный объект, занимающий некую ограниченную область
ζ
размера в Евклидовом пространстве с размерностью .
Пусть на каком-то этапе его построения он представляет собой
множество из
L d
1>>
N
точек, как-то распределенных в этой
области. Будем предполагать, что, в конце концов,
∞
→N .
Разобьем всю область
ζ
на кубические ячейки со стороной
и объемом . Далее нас будут интересовать только
занятые ячейки, в которых содержится хотя бы одна точка. Пусть
номер занятых ячеек
L<<ε
d
ε
i
изменяется в пределах 1
=
i
, ,…, 2
(
)
ε
N ,
где
– суммарное количество занятых ячеек, которое,
конечно, зависит от размера ячейки
()
εN
ε
.
Пусть
представляет собой количество точек в ячейке с
номером
()
ε
i
n
i
, тогда величина 
Глава 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ


           Глава 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
     МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
   Реальные физические объекты и сигналы, даже обладающие
признаками самоподобия, очень редко могут быть описаны с
помощью лишь одной величины фрактальной размерности.
Именно поэтому в последнее время получил большое
распространение      анализ,     основанный     на     теории
мультифракталов – неоднородных фрактальных объектов.
Понятие мультифрактала предоставляет новые обширные
возможности фрактального анализа сложных стохастических
процессов. Для характеристики мультифрактала недостаточно
одной величины, его фрактальной размерности, а необходим
бесконечный      спектр      таких     размерностей.     Идея
мультифрактального      анализа    состоит    в    разложении
исследуемого множества со сложной статистикой по множествам
однородных фракталов с четко выраженной фрактальной
размерностью. При этом мультифрактальный анализ может
привести к нетривиальным результатам в применении не только к
самоподобным объектам с фрактальной геометрией.
                  3.1. Основные понятия
   Дадим общее определение мультифрактала. Рассмотрим
фрактальный объект, занимающий некую ограниченную область
ζ размера L в Евклидовом пространстве с размерностью d .
Пусть на каком-то этапе его построения он представляет собой
множество из N >> 1 точек, как-то распределенных в этой
области. Будем предполагать, что, в конце концов, N → ∞ .
   Разобьем всю область ζ на кубические ячейки со стороной
ε << L и объемом ε d . Далее нас будут интересовать только
занятые ячейки, в которых содержится хотя бы одна точка. Пусть
номер занятых ячеек i изменяется в пределах i = 1 , 2 ,…, N (ε ) ,
где N (ε ) – суммарное количество занятых ячеек, которое,
конечно, зависит от размера ячейки ε .
   Пусть ni (ε ) представляет собой количество точек в ячейке с
номером i , тогда величина

40

Страницы