Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 42 стр.

Глава 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

   Таким   образом,    мультифрактал       в    общем   случае
характеризуется скейлинговой экспонентой τ(q ) , определяющей
поведение статистической суммы Z (q, ε ) при ε → 0
                                   N(ε)
                     Z (q, ε ) =   ∑ piq (ε) ≈ ε τ(q ) .    (3.1.6)
                                   i =1

   Покажем теперь, как ведет себя обобщенная статистическая
сумма в случае обычного регулярного фрактала с фрактальной
размерностью D . В этом случае во всех занятых ячейках
содержится одинаковое количество точек
                          ni ( ε ) = N / N ( ε ) ,          (3.1.7)
то есть фрактал является однородным. Тогда очевидно, что
относительные населенности всех ячеек, pi (ε ) = 1 N (ε ) , тоже
одинаковы, и обобщенная статистическая сумма принимает вид
                          Z (q, ε ) = N 1−q (ε ) .          (3.1.8)
   Учтем теперь, что, согласно определению фрактальной
размерности D , число занятых ячеек при достаточно малом ε
ведет себя следующим образом:
                              N (ε) ≈ ε −D .                (3.1.9)
  Подставляя это в формулу (8) и сравнивая с (6), приходим к
выводу, что в случае обычного фрактала функция
                           τ(q ) = (q − 1)D ,              (3.1.10)
т.е. является линейной. Тогда все Dq = D и действительно не
зависят от q . Для фрактала, все обобщенные фрактальные
размерности Dq которого совпадают, часто используется термин
монофрактал.
   Если распределение точек по ячейкам неодинаково, то
фрактал является неоднородным, т.е. представляет из себя
мультифрактал, и для его характеристики необходим целый
спектр обобщенных фрактальных размерностей Dq , число
которых, в общем случае, бесконечно.
   Так, например, при q → +∞ основной вклад в обобщенную
статистическую сумму (3) вносят ячейки, содержащие
42