Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
44
(
)
ε
=
∑
ε
=
→ε
ln
ln
lim
1
0
1
N
i
ii
pp
D
. (3.1.16)
С точностью до знака числитель в этой формуле представляет
собой энтропию фрактального множества
(
)
ε
S :
()
(
)
∑
ε
=
−=ε
N
i
ii
ppS
1
ln . (3.1.17)
Поскольку энтропия является мерой количества информации,
необходимой для определения системы в некотором положении
i
, можно сказать, что величина характеризует информацию,
необходимую для определения местоположения точки в
некоторой ячейке. Благодаря этому свойству величину
называют информационной размерностью.
1
D
1
D
Рассмотрим теперь обобщенную фрактальную размерность
2
D
.
Для нее справедливо выражение
(
)
ε
=
∑
ε
=
→ε
ln
ln
lim
1
2
0
2
N
i
i
p
D
. (3.1.18)
Величина
тесно связана с поведением так называемого
корреляционного интеграла, определяемого выражением
2
D
(
∑
−−εθ=ε
∞→
mn
mn
N
N
I
,
2
||
1
lim)( rr
)
. (3.1.19)
Здесь суммирование проводится по всем парам точек нашего
фрактального множества с радиус-векторами
и ;
n
r
m
r
(
)
x
θ
–
ступенчатая функция Хевисайда,
(
)
1=
θ
x , если и 0≥x
(
)
0
=
θ
x ,
если
. Сумма в выражении (19) определяет число пар точек
, , для которых расстояние между ними меньше, чем
0<x
n m
ε
.
Поэтому, поделенная на
2
N
, она определяет вероятность того,
что две наугад взятые точки разделены расстоянием меньшим,
чем
.
ε
Эту же вероятность можно определить и по-другому. Величина
, согласно своему определению (1), представляет собой
i
p
Глава 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

                                        N (ε )

                                        ∑ pi ln pi
                          D1 = lim     . i =1
                                                       (3.1.16)
                                ln ε
                                 ε →0

   С точностью до знака числитель в этой формуле представляет
собой энтропию фрактального множества S (ε ) :
                                        N (ε )
                          S (ε ) = − ∑ pi ln pi .             (3.1.17)
                                         i =1

Поскольку энтропия является мерой количества информации,
необходимой для определения системы в некотором положении
i , можно сказать, что величина D1 характеризует информацию,
необходимую для определения местоположения точки в
некоторой ячейке. Благодаря этому свойству величину D1
называют информационной размерностью.
    Рассмотрим теперь обобщенную фрактальную размерность
D2 . Для нее справедливо выражение
                                                 N (ε )
                                          ln ∑ pi2
                           D2 = lim              i =1
                                                          .   (3.1.18)
                                  ε →0           ln ε
   Величина D2 тесно связана с поведением так называемого
корреляционного интеграла, определяемого выражением
                                 1
                   I (ε) = lim
                          N →∞   N2
                                      ∑ θ(ε− | rn − rm |) .   (3.1.19)
                                      n,m

Здесь суммирование проводится по всем парам точек нашего
фрактального множества с радиус-векторами rn и rm ; θ(x ) –
ступенчатая функция Хевисайда, θ(x ) = 1, если x ≥ 0 и θ(x ) = 0 ,
если x < 0 . Сумма в выражении (19) определяет число пар точек
n , m , для которых расстояние между ними меньше, чем ε .
Поэтому, поделенная на N 2 , она определяет вероятность того,
что две наугад взятые точки разделены расстоянием меньшим,
чем ε .
    Эту же вероятность можно определить и по-другому. Величина
pi , согласно своему определению (1), представляет собой

44

Страницы