Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 46 стр.

Глава 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

                                      n!
     Число сочетаний Cnm =                     . Поскольку на этом шаге
                                 m! (n − m ) !
размер ячейки ε = 3 − n , то на основании соотношения (6)
приходим к следующему уравнению для спектра обобщенных
фрактальных размерностей Dq

                           (pq
                             1   + p2q   ) ≈ (1 3)
                                         n                nτ (q )
                                                                    .                    (3.1.23)
Устремляя n → ∞ с учетом определения τ (q ) , находим

                            Dq = −
                                             (
                                         ln p1q + p2q
                                                      .
                                                            )                            (3.1.24)
                                          (q − 1)ln 3
   Если p1 = p2 = 1/ 2 , то мы имеем однородный фрактал, все
обобщенные фрактальные размерности Dq которого одинаковы и
равны хаусдорфовой размерности исходного                                         канторовского
множества исключенных средних третей:
                                                 ln 2
                                   Dq =               .                                  (3.1.25)
                                                 ln 3
                                                                           Если же p1 ≠ 1/ 2 ,
                                                                        то канторовское мно-
                                                                        жество является не-
                                                                        однородным.       На
                                                                        рис. 3.1 изображена
                                                                        зависимость Dq для
                                                                                         значения
                                                                        вероятности p1 = 1/ 4
                                                                        и p2 = 3 / 4 . Значение
                                                                                 хаусдорфовой
                                                                                   размерности
                                                                         D0 = ln 2 / ln 3 = 0,6309
          Рис. 3.1. Спектр обобщенных                                   совпадает в этом
        размерностей для неоднородного                                  случае с размерно-
     канторовского множества исключенных                                стью      однородного
      средних третей p1 = 0,25 , p2 = 0,75 .                            канторовского мно-
                                                                        жества.

46