Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 47 стр.

                                             3.2. Функция мультифрактального спектра


       3.2. Функция мультифрактального спектра
     Часто наряду с обобщенными фрактальными размерностями
Dq     для характеристики мультифрактального множества
используют так называемую функцию мультифрактального
спектра f (α ) (спектр сингулярностей мультифрактала).
Рассмотрим кратко подход к ее определению.
   Как уже отмечалось, одной из основных характеристик
мультифрактала является зависимость вероятности (меры) pi от
размера ячейки ε . Эта зависимость имеет степенной характер
                                     pi (ε ) ≈ ε   αi
                                                        ,                     (3.2.1)
где α i представляет собой некоторый показатель степени,
вообще говоря разный, для разных ячеек i (в специальной
литературе по отношению к нему используются термины
“показатель сингулярности” или “экспонента сингулярности”).
Чем меньше значение α i , тем более сингулярной является мера.
Известно, что для регулярного (однородного) фрактала все
показатели степени α i одинаковы и равны фрактальной
размерности D
                                  pi = 1/ N (ε ) ≈ εD .                       (3.2.2)
   Однако для такого более сложного объекта, как
мультифрактал, вследствие его неоднородности, вероятности
заполнения ячеек pi в общем случае неодинаковы, и показатель
степени α i для разных ячеек может принимать различные
значения. Как мы увидим ниже, достаточно типичной является
ситуация, когда эти значения непрерывно заполняют некоторый
закрытый интервал ( α min , α max ), причем
                            pmin ≈ ε α , а pmax ≈ ε α .
                                      max                     min
                                                                              (3.2.3)
     Несложно показать, что
              dτ                             dτ
                            = D∞ = α min ,                  = D−∞ = α max ,   (3.2.4)
              dq   q → +∞
                                             dq    q → −∞




                                                                                  47