Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3.2. Функция мультифрактального спектра
49
на которые можно разбить исходное множество
ζ
. Отсюда
становится понятным термин мультифрактал. Его можно
понимать как некое объединение различных однородных
фрактальных подмножеств
α
ζ
, каждое из которых имеет свое
собственное значение фрактальной размерности
(
)
α
f .
Поскольку любому подмножеству принадлежит лишь часть от
общего числа ячеек
(
)
ε
N , на которые разбито исходное
множество
ζ
, условие нормировки вероятностей (2), очевидно,
не выполняется при суммировании только по этому
подмножеству. Сумма этих вероятностей оказывается меньше
единицы. Поэтому и сами вероятности
с одним и тем же
значением
очевидно меньше (или, в крайнем случае, одного
порядка), чем величина
, которая обратно пропорциональна
числу имеющихся ячеек, покрывающих данное подмножество
(напомним, что в случае монофрактала
i
p
i
α
)(
i
f α
ε
)(/1
ε
≈
Np
i
). В результате
приходим к следующему важному неравенству для функции
(
)
α
f .
А именно, при всех значениях
α
α
≤
α
)(f . (3.2.7)
Знак равенства имеет место, например, для полностью
однородного фрактала, где
Df
=
α
=
α
)( .
Установим теперь связь функции
(
)
α
f с введенной ранее
функцией
. Вычислим для этого статистическую сумму
. Подставляя в выражение (3) вероятности и
переходя от суммирования по
()
qτ
(
ε,qZ
)
i
i
p
α
ε≈
i
к интегрированию по
α
с
плотностью вероятности (5), получаем
. (3.2.8)
∫∫
∑
α−αα
ε
=
αε≈εαα≈ε=ε
)(
)(
1
)()(),(
fqq
N
i
q
i
dndpqZ
Для интеграла (8) с учетом малости величины
справедлива
оценка:
(3.2.9)
))(()(
),(
qfqq
qZ
α−α
ε≈ε
при выполнении соотношения 
                                                 3.2. Функция мультифрактального спектра

на которые можно разбить исходное множество ζ . Отсюда
становится понятным термин мультифрактал. Его можно
понимать как некое объединение различных однородных
фрактальных подмножеств ζ α , каждое из которых имеет свое
собственное значение фрактальной размерности f (α ) .
   Поскольку любому подмножеству принадлежит лишь часть от
общего числа ячеек N (ε ) , на которые разбито исходное
множество ζ , условие нормировки вероятностей (2), очевидно,
не выполняется при суммировании только по этому
подмножеству. Сумма этих вероятностей оказывается меньше
единицы. Поэтому и сами вероятности pi с одним и тем же
значением α i очевидно меньше (или, в крайнем случае, одного
порядка), чем величина εf ( α ) , которая обратно пропорциональна
                                       i


числу имеющихся ячеек, покрывающих данное подмножество
(напомним, что в случае монофрактала pi ≈ 1/ N (ε) ). В результате
приходим к следующему важному неравенству для функции f (α ) .
А именно, при всех значениях α
                                           f (α ) ≤ α .                         (3.2.7)
Знак равенства имеет место, например, для полностью
однородного фрактала, где f (α ) = α = D .
   Установим теперь связь функции f (α ) с введенной ранее
функцией τ(q ) . Вычислим для этого статистическую сумму
Z (q, ε ) . Подставляя в выражение (3) вероятности pi ≈ ε α и                      i



переходя от суммирования по i к интегрированию по α с
плотностью вероятности (5), получаем
                         N(ε)
            Z (q, ε) =   ∑ piq (ε) ≈ ∫ dαn(α)εqα ≈ ∫ dαε qα −f ( α ) .          (3.2.8)
                         i =1

Для интеграла (8) с учетом малости величины ε справедлива
оценка:
                                Z (q, ε) ≈ ε qα ( q )−f ( α ( q ))              (3.2.9)
при выполнении соотношения

                                                                                       49

Страницы