Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3.2. Функция мультифрактального спектра
51
.)( f
d
df
q −
α
α=τ (3.2.15)
Для однородного фрактала
constDD
q
=
=
. Поэтому
и Ddqd =τ=α / DqDqDqqf
=
−
−
=
τ
−
α
=
α
)1()()( . В этом случае
«график» функции
)(
α
f на плоскости
(
)
(
)
α
α
f, состоит всего из
одной точки
(
)
DD, . Обратимся теперь к более интересным
случаям, когда график функции
)(
α
f состоит не из дискретных
точек, а представляет собой некоторую непрерывную линию.
Проанализируем такое поведение функции
)(
α
f для
различных значений
α
. В точке )0(
0
α
=
α
функция )(
α
f , являясь
всюду выпуклой, имеет максимум.
Значение функции в максимуме легко определить, если
воспользоваться выражением (12). Положив в нем
0
=
q , мы
получим, что
00
)( Df
=
α
, т.е. максимальное значение )(
α
f равно
хаусдорфовой размерности мультифрактала
. Качественно эта
ситуация отражена на
рис. 3.2. Там же показаны границы
интервала
0
D
),(
maxmin
α
α , в котором задана функция )(
α
f . Заметим,
что обращение функции
)(
α
f в ноль на этих границах (как
показано на рисунке) вовсе не обязательно, и в ряде случаев
в одной из этих точек (или в обоих) может быть и отлична от
нуля. Обязательным условием, однако, является обращение в
бесконечность производной
)(αf
)(
α
′
f в этих двух точках.
Несложно показать, что
))1(()1(
1
α
=
α
=
fD , (3.2.16)
т.е. информационная размерность
лежит на кривой
1
D )(
α
f в
точке, где
)(
α
=α f и 1)(
=
α
′
f .
В свою очередь
))2(()2(2
2
α
−
α
=
fD , (3.2.17)
или
2
)2(2))2(( Df
−
α
=α . 
                                            3.2. Функция мультифрактального спектра

                                            df
                                τ(q ) = α      − f.                       (3.2.15)
                                            dα
   Для     однородного          фрактала           Dq = D = const .     Поэтому
α = dτ / dq = D и f (α ) = qα − τ(q ) = qD − D(q − 1) = D . В этом случае
«график» функции f (α ) на плоскости (α, f (α )) состоит всего из
одной точки (D, D ) . Обратимся теперь к более интересным
случаям, когда график функции f (α ) состоит не из дискретных
точек, а представляет собой некоторую непрерывную линию.
    Проанализируем такое поведение функции f (α ) для
различных значений α . В точке α 0 = α(0) функция f (α ) , являясь
всюду выпуклой, имеет максимум.
    Значение функции в максимуме легко определить, если
воспользоваться выражением (12). Положив в нем q = 0 , мы
получим, что f ( α 0 ) = D0 , т.е. максимальное значение f (α ) равно
хаусдорфовой размерности мультифрактала D0 . Качественно эта
ситуация отражена на рис. 3.2. Там же показаны границы
интервала (α min , α max ) , в котором задана функция f (α ) . Заметим,
что обращение функции f (α ) в ноль на этих границах (как
показано на рисунке) вовсе не обязательно, и в ряде случаев
f (α ) в одной из этих точек (или в обоих) может быть и отлична от
нуля. Обязательным условием, однако, является обращение в
бесконечность производной f ′(α ) в этих двух точках.
    Несложно показать, что
                               D1 = α(1) = f (α(1)) ,                     (3.2.16)
т.е. информационная размерность D1 лежит на кривой f (α ) в
точке, где α = f (α ) и f ′(α ) = 1 .
   В свою очередь
                              D2 = 2α(2) − f (α(2)) ,                     (3.2.17)
или f (α(2)) = 2α(2) − D2 .




                                                                                51

Страницы