Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 48 стр.

Глава 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

т.е. интервал возможных значений α определяется предельными
значениями      (при  q → ±∞ )    обобщенных    фрактальных
размерностей Dq .
    Перейдем теперь к вопросу о распределении вероятностей
различных значений α i . Пусть n (α )dα есть вероятность того, что
α i находится в интервале от α до α + dα . Другими словами,
n(α )dα представляет собой число ячеек i , обладающих одной и
той же мерой pi с α i , лежащими в этом интервале. В случае
монофрактала, для которого все α i одинаковы (и равны
фрактальной     размерности    D ),   это   число,   очевидно,
пропорционально     полному    количеству    ячеек  N (ε) ≈ ε −D ,
степенным образом зависящим от размера ячейки ε . Показатель
степени в этом соотношении определяется фрактальной
размерностью множества D .
    Для мультифрактала, однако, это не так, и разные значения
α i встречаются с вероятностью, характеризуемой не одной и той
же величиной D , а разными (в зависимости от α ) значениями
показателя степени f (α ) ,
                           n( α ) ≈ ε − f ( α ) .          (3.2.5)
   Таким образом, физический смысл функции f (α ) заключается
в том, что она представляет собой хаусдорфову размерность
некоего однородного фрактального подмножества ζ α из
исходного множества     ζ , характеризуемого одинаковыми
                                                    α
вероятностями заполнения ячеек pi ≈ ε . Поскольку фрактальная
размерность подмножества очевидно всегда меньше или равна
фрактальной размерности исходного множества D0 , имеет место
важное неравенство для функции f (α )
                             f (α ) ≤ D0 .                 (3.2.6)
   В результате мы приходим к выводу, что набор различных
значений функции f (α ) (при разных α ) представляют собой
спектр фрактальных размерностей однородных подмножеств ζ α ,

48