Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 45 стр.

                                                             3.1. Основные понятия

вероятность попадания точки в i -ю ячейку с размером ε .
Следовательно, величина pi2 представляет собой вероятность
попадания в эту ячейку двух точек. Суммируя pi2 по всем
занятым ячейкам, получаем вероятность того, что две
произвольно выбранные точки из множества ζ лежат внутри
одной ячейки с размером ε . Следовательно, расстояние между
этими точками будет меньше или порядка ε . Таким образом, с
точностью до численных коэффициентов, принимая во внимание
равенство (18), получаем
                                        N(ε)
                              I (ε) ≈   ∑ pi2 ≈ εD 2
                                                       .                 (3.1.20)
                                        i =1

Отсюда видно, что обобщенная размерность D2 определяет
зависимость корреляционного интеграла I (ε ) от ε в пределе
ε → 0 . По этой причине величину D2 в литературе называют
корреляционной размерностью.
   Не останавливаясь подробно на характеристике обобщенной
фрактальной размерности Dq для произвольного показателя
степени q , укажем лишь на то, что она всегда монотонно
убывает (или, в крайнем случае, остается постоянной) с ростом
q
                             Dq ≥ Dq ′ при q ′ > q .                     (3.1.21)
Знак равенства имеет место, например, для однородного
фрактала. Максимального значения Dmax = D− ∞ величина Dq
достигает при q → −∞ , а максимального Dmin = D∞ при q → ∞ .
   В    качестве    примера    расчета   спектра   обобщенных
фрактальных       размерностей    приведем    расчет    спектра
размерностей для неоднородного канторовского множества
(см. п. 1.4). На n шаге процедуры построения этого множества
обобщенная сумма (3) имеет вид обычного бинома Ньютона

                             ∑ Cnm (p1n −m p2m )       (     )
                              n
               Z (q, ε ) =
                                               q             n
                                                   = p1q + p2q .         (3.1.22)
                             m =0




                                                                               45