Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 43 стр.

                                                                        3.1. Основные понятия

наибольшее число частиц ni в них и, следовательно,
характеризующиеся наибольшей вероятностью их заполнения pi .
Наоборот, при q → −∞ основной вклад в сумму (3) дают самые
разреженные ячейки с малыми значениями заполнения pi . Таким
образом, функция Dq показывает, насколько неоднородным
является исследуемое множество точек ζ .
   Выясним теперь, какой физический смысл имеют обобщенные
фрактальные размерности Dq для некоторых конкретных
значений q . Так, при q = 0 из выражения (3) следует, что
                                        Z (0, ε ) = N (ε ) .                        (3.1.11)
   С другой стороны, согласно формулам (4) и (6),
                                  Z (0, ε ) ≈ ε τ(0 ) = ε −D0 .                     (3.1.12)
   Сопоставляя эти два равенства, мы приходим к соотношению
N (ε ) ≈ ε −D0 . Это означает, что величина D0 представляет собой
обычную хаусдорфову размерность множества ζ . Она является
наиболее грубой характеристикой мультифрактала.
   Выясним теперь смысл величины D1 . Поскольку при q = 1 , в
силу условия нормировки вероятности (2), статистическая сумма
равна
                                          Z (1, ε ) = 1 ,                           (3.1.13)
то τ(1) = 0 . Таким образом, мы имеем неопределенность в
выражении (4) для D1 . Раскроем эту неопределенность с
помощью очевидного равенства
                            N (ε )       N (ε )
                Z (q, ε ) =      ∑ piq =
                                 i =1
                                              ∑ pi exp[(q − 1)ln pi ] .
                                              i =1
                                                                        (3.1.14)

   Теперь, устремляя q → 1 , разлагая экспоненту и учитывая
условие нормировки (2), получаем
                  N (ε )                                       N (ε )
Z (q → 1, ε ) ≈   ∑ [ pi + (q − 1)pi ln pi ] = 1 + (q − 1)∑ pi ln pi .              (3.1.15)
                  i =1                                         i =1

   В результате приходим к следующему выражению:
                                                                                          43