Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3.1. Основные понятия
41
N
n
p
i
N
i
)(
lim)(
ε
=ε
∞→
(3.1.1)
представляет собой вероятность того, что наугад взятая точка из
нашего множества находится в ячейке
. Другими словами,
вероятности
характеризуют относительную заселенность
ячеек. Из условия нормировки вероятности следует, что
i
i
p
. (3.1.2)
∑
ε
=
=ε
)(
1
1)(
N
i
i
p
Стандартный метод мультифрактального анализа основан на
рассмотрении обобщенной статистической суммы
(
)
ε
,qZ , в
которой показатель степени
может принимать любые значения
в интервале
q
+
∞
<
<
−∞ q
:
. (3.1.3)
)(),(
)(
1
ε=ε
∑
ε
=
N
i
q
i
pqZ
Спектр обобщенных фрактальных размерностей
(размерностей Реньи), характеризующих данное распределение
точек в области
q
D
ζ
, определяется с помощью соотношения
(
)
1−
τ
=
q
q
D
q
, (3.1.4)
где нелинейная функция
(
)
q
τ
(в научной литературе она
называется скейлинговой экспонентой) имеет вид
()
(
)
(
)
ε
ε
=τ
→ε
ln
,ln
lim
0
qZ
q
. (3.1.5)
Как мы покажем ниже, если
constDD
q
=
=
, т.е. не зависит от
, то данное множество точек представляет собой обычный
фрактал, который характеризуется всего лишь одной величиной –
фрактальной размерностью
. Напротив, если функция как-
то меняется с
, то рассматриваемое множество точек является
мультифракталом.
q
D
q
D
q
                                                          3.1. Основные понятия


                                 ni ( ε )
                         pi (ε) = lim                    (3.1.1)
                                   N
                                   N →∞

представляет собой вероятность того, что наугад взятая точка из
нашего множества находится в ячейке i . Другими словами,
вероятности pi характеризуют относительную заселенность
ячеек. Из условия нормировки вероятности следует, что
                            N(ε)

                            ∑ pi (ε) = 1 .                             (3.1.2)
                            i =1

   Стандартный метод мультифрактального анализа основан на
рассмотрении обобщенной статистической суммы Z (q, ε ) , в
которой показатель степени q может принимать любые значения
в интервале −∞ < q < +∞ :
                                      N(ε)
                        Z (q, ε ) =   ∑ piq (ε) .                      (3.1.3)
                                      i =1

  Спектр    обобщенных       фрактальных                размерностей       Dq
(размерностей Реньи), характеризующих данное распределение
точек в области ζ , определяется с помощью соотношения
                                      τ(q )
                            Dq =            ,                          (3.1.4)
                                      q −1
где нелинейная функция τ(q ) (в научной литературе она
называется скейлинговой экспонентой) имеет вид
                                      ln(Z (q, ε ))
                       τ(q ) = lim                  .                  (3.1.5)
                               ε →0      ln ε
  Как мы покажем ниже, если Dq = D = const , т.е. не зависит от
q , то данное множество точек представляет собой обычный
фрактал, который характеризуется всего лишь одной величиной –
фрактальной размерностью D . Напротив, если функция Dq как-
то меняется с q , то рассматриваемое множество точек является
мультифракталом.



                                                                            41

Страницы